Формальная производная, ее свойства

Многочлен f(x+y)-f(x) делится на y без остатка. Положим . Многочлен F(x,0) называют производной многочлена f(x) и обозначают . Приведем свойства производной

A.

B.

C.

D.

Если f(x) делится на и не делится на , то говорят, что корень многочлена f(x) кратности k. Между кратными корнями многочлена и его производной существует связь. Если a корень многочлена f(x) кратности k, то a корень его производной кратности k-1.

Пусть - многочлен с коэффициентами из поля P. Построим многочлен , коэффициенты которого принадлежат P. Рассмотрим многочлены и над полем разложения , которое обозначит через T. Пусть - разложение многочлена над T. Тогда, по теореме о кратных корнях и . Пусть - разложение многочлена над полем P на неприводимые множители, тогда . То есть, многочлен раскладывается на те же неприводимые множители, что и , причем кратность каждого множителя равна 1.

Производную порядка k от многочлена f(x) обозначим . Будем считать, что - исходный многочлен. При вычислении производных высокого порядка от произведения справедлива формула, напоминающая бином Ньютона .

Для многочлена степени n справедлива формула Тейлора . В частности отсюда вытекает возможность вычисления значения производной j-го порядка в точке по схеме Горнера. Другим важным фактом является эквивалентное определение кратного корня с помощью производной. Условие при i=0,…,k-1 и равносильно тому, что - корень f(x) кратности k.

Рассмотрим обобщение задачи интерполяции. Требуется найти многочлен наименьшей степени, у которого на некотором множестве заданы не только его значения, но и значения производных до определенных порядков. Пусть на множестве точек заданы значения функции, а также её производных высших порядков. То есть, заданы значения , где j=1,…,k и . Задача заключается в построении многочлена наименьшей степени, удовлетворяющего равенствам , где j=1,…,k и . Положим . Будем искать интерполяционный многочлен в виде , где коэффициенты определяются из условий задачи интерполяции. Поскольку , то имеем рекуррентные формулы для вычисления : , и , где j=1,…,k и . Интерполяционный многочлен, записанный в виде , называется интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра. Существует единственный многочлен h(x) степени не больше , удовлетворяющий равенствам , где j=1,…,k и .