Формулы Виета, симметрические полиномы

Пусть многочлен имеет корни . Из равенства , сопоставив коэффициенты при равных степенях, выводим формулы Виета .

Многочленом от n переменных называется функция вида . Степенью многочлена называется максимальная суммарная степень по всем переменным. Слагаемое вида называется мономом. Многочлен от n переменных может содержать несколько мономов максимальной степени. Моном максимальной степени назовём старшим, если набор его степеней лексикографически максимален. Обозначим через v(f) набор степеней старшего монома. Имеет место v(fg)=v(f)+v(g), . Многочлен от нескольких переменных называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке переменных. Многочлены , где i=1,…,n называются элементарными симметрическими многочленами.

По формулам Виета, коэффициенты многочлена с точностью до знака суть значения элементарных симметрических многочленов от его корней. Заметим . Для любого симметрического многочлена f степени , справедливы неравенства . Степень равна . Из этих фактов вытекает основная теорема алгебры симметрических многочленов.

Любой симметрический многочлен единственным образом представляется в виде полинома от элементарных симметрических многочленов.

Хотя доказательство теоремы носит конструктивный характер, для построения искомого полинома используют метод неопределенных коэффициентов.

Например, рассмотрим задачу вычисления суммы кубов корней уравнения . Обозначим через корни этого уравнения. По теореме Виета, известны значения элементарных симметрических многочленов на этих корнях , , , . Многочлен является симметрическим, и, значит, представляется в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Поскольку исходный многочлен имеет степень 3, то его представление имеет вид , где - неизвестные коэффициенты. Чтобы найти эти коэффициенты возьмем конкретные значения переменных , сосчитаем на них значения элементарных многочленов и приравняем значение многочлена и его представления. При удачном выборе , из полученного равенства будет найден один из коэффициентов. Данные удобно свести в таблицу . Таким образом, . Подставим в правую часть значения элементарных симметрических многочленов на корнях многочлена, находим, что сумма кубов корней этого уравнения равна 12.