Сравнение асимптотического поведения функций

а) Эквивалентные функции.

О. Если в некоторой проколотой окрестности точки функция представима в виде , причем , то функции и называют эквивалентными при и пишут

при .

Утверждение Если и в некоторой , то

при тогда, и только тогда, когда .

Например, при , так как ; , так как .

Таблица эквивалентных функций при

Теорема Если и при , то

.

б) Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой.

О. Если в некоторой проколотой окрестности точки функция представима в виде , причем , то функцию называют бесконечно малой по сравнению с при и пишут , .

Утверждение Если в некоторой , то при тогда, и только тогда, когда .

Пример 1) при ; 2) при .

Если и − обе бесконечно малые при , то говорят, что есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

Некоторые важные свойства символа .

Докажем, например, что . Действительно, , так как если и бесконечно малые, то тоже бесконечно малая ■

4 Непрерывные функции