Определение предела по Коши

Напомним, что окрестностью точки a называется множество

.

Если из этого множества удалить точку a, то получим проколотую окрестность .

О. Число А называется пределом функции в точке a, если

,

то есть для найдется такое , что для , отличающегося от a меньше, чем на , и не равного a, выполняется неравенство .

Пишут .

На языке окрестностей означает, что

.

Пример 1

Решение. Здесь . Нужно доказать, что

.

Действительно, , если . Т. о.,

.

Пример 2

Решение. , , если взять .

Значит, .

Теорема Если функция имеет предел в точке a, то он − единственный.

Доказательство. Допустим, и , причем для определенности будем считать, что .

Возьмем непересекающиеся окрестности точек и . Так как , то для . Т. к. , то для .

Рассмотрим . Тогда и . Противоречие. ■