Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Общие свойства предела последовательности




Из определения предела следует, что любая окрестность предела последовательности содержит все члены этой последовательности, кроме, быть может, конечного числа её членов.

 

Теорема 1 Числовая последовательность может иметь только один предел.

 

Доказательство. Допустим, что существуют два различных предела последовательности , т.е. , , причем .

Выберем число так, чтобы окрестности точек и не пересекались (например, ).

Так как , то .

Так как , то .

Возьмем номер . Тогда и . Но это невозможно, так как эти окрестности не пересекаются. ■

 

Теорема 2 Если последовательность сходится, то она ограничена.

 

Доказательство. Так как сходится к , то для найдем номер N так, что при . Тогда при . За пределами 1-окрестности находится не более, чем N членов последовательности . Возьмем . Тогда . То есть ограничена. ■

 

Замечание. Обратное не всегда верно. Например, последовательность ограничена, но не сходится.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты