![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Точные грани числовых множествПусть О. Множество Х называется ограниченным сверху, если
Число с называется верхней гранью множества Х. О. Множество Х называется ограниченным снизу, если
Число О. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, т.е.
Утверждение Множество Х ограничено тогда, и только тогда, когда
О. Максимальным элементом множества Х называется такое число а, что О. Минимальным элементом множества Х называется такое число а, что О. Множество Х называется не ограниченным сверху, если
О. Множество Х называется не ограниченным снизу, если
О. Множество Х называется неограниченным, если оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.
О. Точная верхняя грань – это наименьшая из всех верхних граней, т.е. 1) Или О. Точная нижняя грань – это наибольшая из всех нижних граней, т.е. 1) Или
Замечание. 1) Множество может не иметь максимального элемента, но иметь точную верхнюю грань. Например, таково множество 2) Если существует максимальный элемент множества Х, то он совпадает с 3) Если множество Х не ограничено сверху, то Теорема о существовании точной верхней грани Если множество Х ограничено сверху, то оно имеет, причем единственную, точную верхнюю грань.
Доказательство. 1) Обозначим Y – множество всех верхних граней множества Х.Тогда По аксиоме полноты, 2) Допустим, что существуют числа Если Если По аксиоме 3.4 порядка, Значит,
|