Натуральные, рациональные, иррациональные числа

О. Множество М называется индуктивным, если

.

О. Множество натуральных чисел – это наименьшее индуктивное множество, содержащее 1. Обозначается N .

О. Множество целых чисел – это множество

Z N .

О. Множество рациональных чисел – это множество

Q целое, натуральное .

Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.

Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, . Иррациональное число – это всегда бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Принцип Архимеда Множество N не ограничено сверху.

Доказательство. Допустим, N – ограничено сверху. Тогда оно имеет точную верхнюю грань. Обозначим . Тогда для числа . Но тогда , т.е. М не является . Противоречие. ■

Следствие 1 из принципа Архимеда .

Доказательство. Возьмем . Рассмотрим число . Оно не является верхней гранью для N (так как N не ограничено сверху). Значит, . Следовательно, .■

Следствие 2 Если и , то .

Доказательство. Допустим, . Тогда .

Противоречие с условием. ■

Следствие 3 Для : .