КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Принцип КантораПримеры числовых множеств: отрезок, интервал, полуинтервал, луч, прямая, пустое множество, N, Q и т.п. Из множеств можно образовывать системы множеств. Например, , .
Утверждение Для системы интервалов не существует точки, общей для всех интервалов, т.е. Ø.
Доказательство. Допустим, существует общая точка. Это число не может быть отрицательным. Это и не ноль. Допустим, существует число . По следствию 1 из принципа Архимеда, . Но тогда . Противоречие. ■
Пусть имеется система множеств . Если , т.е. , то эта система называется системой вложенных множеств.
Принцип Кантора Для любой системы вложенных отрезков существует точка, общая для всех отрезков, т.е. . Если, кроме того, система отрезков такова, что существует отрезок, длина которого меньше , то точка с – единственная.
Доказательство. Пусть . Рассмотрим два множества: и (А – левые концы , В – правые концы ). Нетрудно доказать (от противного), что (иначе бы , и они бы не пересекались). Значит, по аксиоме полноты, , в том числе и для случая тоже. Значит, , . Допустим теперь, , общие для всех отрезков. Пусть . Возьмем в качестве . Тогда существует отрезок длины меньше . Так как и , то длина равна . Но, по построению, длина меньше . Противоречие. ■
|