![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)О. Функцию
1. Ограниченность непрерывной на отрезке функции. Теорема 1 (Вейерштрасса) Если функция
Доказательство. Допустим противное, т. е.
Полагая в (1)
Последовательность По теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т. е. Так как
Замечание. Теорема неверна на промежутках, не являющихся отрезками. Например,
2. Достижение точных граней. Теорема 2 (Вейерштрасса) Если функция
3. Промежуточные значения непрерывной функции. Теорема (Коши о нулях непрерывной функции)Если функция
Замечание. Теорема Коши о нулях непрерывной функции утверждает, что график непрерывной функции, принимающеё на концах отрезка значения разных знаков, пересекает ось Ox хотя бы в одной точке отрезка
Теорема (Коши о промежуточных значениях)Если функция
Доказательство. Если Рассмотрим случай
Следствие Если функция 4. Существование и непрерывность функции, обратной к непрерывной.
Теорема Если функция
Доказательство. Докажем существование обратной функции. Обозначим Согласно определению обратной функции, нужно доказать, что для Значит, на отрезке
Примеры 1) Так как функция 2) функция
|