Правила дифференцирования

Теорема 1 Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемы функции

(если ),

причем 1) ,

2),

3) , .

Доказательство. 1) Если , то

.

Тогда . При предел правой части существует, значит, существует и предел левой части. При получаем .

2) Пусть . Тогда

.

Отсюда следует, что .

Так как дифференцируема в точке , то при . Поэтому из последнего равенства при получаем

.

3) Доказательство предлагается изучить самостоятельно.■

Следствие , где .

Пример Доказать, что .

Решение.

.

Теорема 2 (производная обратной функции) Если функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке и если , то функция , обратная к функции , дифференцируема в точке , причем .

Доказательство следует из равенства .

Пример Доказать, что , при .

Решение. Здесь .

Тогда обратная функция , . По формуле,

.

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции) Если дифференцируема в точке , дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причем .

Таблица производных от основных элементарных функций

1)

2) , , ,

3) ,

4) ,

5) , 6)

7) , 8)

9) , 10)

11) , 12)

13) , 14)

15) , 16)