Теорема Ролля. Теорема Ролля (о нулях производной) Если непрерывна на отрезке , принимает в концах этого отрезка равные значения

Теорема Ролля (о нулях производной) Если непрерывна на отрезке , принимает в концах этого отрезка равные значения и дифференцируема на интервале , то существует точка , в которой .

Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы Ролля существует точка , в которой касательная к графику функции параллельна оси Ох.

6.4 Формула Лагранжа конечных приращений.

Теорема Лагранжа Если непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует такая точка , что .

Доказательство. Введем функцию

.

.

удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Значит,

, т.е. .■

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: , в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей точки и .

Пример Доказать, что .

Решение. Пусть . Применим теорему Лагранжа к этой функции на отрезке . Получим, что для некоторой точки выполняется .

Аналогично доказывается, что .

Следствия 1)Если функция дифференцируема на интервале и , то на .

2) Если на , то не убывает на .

Если на , то не возрастает на .

3) Если две непрерывные функции имеют одинаковые производные, то они отличаются на , т.е. .

Теорема(обобщенная формула Коши конечных приращений) Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем ,

то .