Возрастание и убывание функций

Теорема 1 (критерий возрастания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Возьмем . Так как возрастает на , то ,

Отсюда следует, что в любом случае . Тогда и . Достаточность следует из теоремы Лагранжа. ■

Теорема 2 (критерий убывания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была убывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 3 (достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции) Если , то строго возрастает на интервале . Если , то строго убывает на интервале .

Доказательство. По теореме Лагранжа,

.

Что и требовалось доказать. ■

Теорема 4 Если непрерывна на отрезке , дифферен-цируема на интервале и для , то строго возрастает на .