Экстремумы функции

О. Точки, в которых , называются стационарными.

О. Точки, в которых непрерывна, а или не существует, называются критическими

Из теоремы Ферма следует, что если точка экстремума, то . Поэтому точки экстремума следует искать среди критических точек.

Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для , но не является точкой экстремума.

Теорема (I достаточное условие строгого экстремума) Пусть дифференцируема в некоторой и непрерывна в точке . Тогда 1) если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. , а , то – точка строгого локального минимума функции ;

2) если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то – точка строгого локального максимума функции .

Докажем утверждение 1) теоремы. По теореме Лагранжа,

.

При , и при .

Следовательно, в некоторой окрестности точки выполняется неравенство . Значит, – точка локального минимума. ■

Теорема (II достаточное условие строгого экстремума)

Пусть , где и выполняются условия:

.

Тогда а) если четное, то точка экстремума функции , а именно, если , то точка максимума, если , то точка минимума; б) если нечетное, то не является точкой экстремума функции .