Точки перегиба

О. Пусть непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если при переходе через точку меняет направление выпуклости, т.е. такое, что на одном из интервалов , она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то называется точкой перегиба функции .

Например, для – точка перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба) Если точка перегиба функции и в некоторой окрестности , непрерывная в точке , то .

Доказательство. Допустим, . Например, . Так как непрерывна в точке , то . Значит, выпукла вниз в окрестности . Но это противоречит определению точки перегиба. ■

Теорема (достаточное условие точки перегиба) Если непрерывна в точке , имеет в точке и при переходе через точку меняет знак, то – точка перегиба функции .