КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение. Если существует предел вида (т.е. принимает только значения, меньшие ) то он называется пределом функции в т. слева. ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7 Аналогично называется пределом в т. справа. Оба этих предела называются односторонними. Очевидно, что для существования предела в т. , необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в этой точке существовали и были равны между собой. Определение. Функция называется непрерывной в т. , если: 1) определена в т. и ее окрестности; 2) существует ; 3) . Другими словами непрерывна в т. , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. . Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точка , в которой хотя бы одно из условий 1-3 не выполняется называется точкой разрыва функции. Если , а , то - точка устранимого разрыва. Если при этом эти пределы существуют и конечны, то - точка разрыва 1-го рода. Если же хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то - точка разрыва 2-го рода.
АЗ-5
1. Доказать непрерывность функций , .
2. Исследовать на непрерывность функции: а) , б) , в) г) д)
3. Установить область непрерывности функции , найти ее точки разрыва и построить схематично ее график.
4. Дана функция Найти точки разрыва и построить ее график. 5. Установить точки разрыва заданных функций, указать характер разрыва в этих точках и построить схематично графики функций а) , б) , в) .
ИДЗ-5
Задание 1. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики
Задание 2. Установить точки разрыва заданных функций, указать характер разрыва в этих точках и построить схематично их графики.
Решение типового варианта
Задание 1. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график Решение. Функции , , при определены и непрерывны в заданных областях т.к. являются элементарными функциями. Таким образом разрыв возможен только в точках и . Найдем односторонние пределы в окрестностях этих точек. При получаем: предел слева , предел права . Т.к. односторонние пределы в т. равны между собой , то функция в этой точке непрерывна. При получаем: предел слева , предел права . Т.к. то в т. имеем разрыв 1-го рода (т.к. оба предела конечны).
Задание 2. Установить точки разрыва заданных функций, установить характер разрыва в этих точках и построить схематично их графики. Решение. Данная функция не существует в т. , следовательно - точка разрыва. Найдем односторонние пределы в окрестности этой точки. Таким образом в т. имеем разрыв второго рода. Для построения схематичного графика найдем : - горизонтальная асимптота графика функции. Строим график
|