Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки (о функции см. в [1, с. 100]).

Определение предела функции на «языке » см. в [1, с. 112]. Обозначение: . Запишем это определение коротко:

.

Квантор всеобщности читается: «для всех». Квантор существования заменяет слово «существует». Запись означает, что «из следует ». А указывает на эквивалентность высказываний и , т. е. «из следует и из следует ».

Геометрический смысл предела функции поможет понять рис. 1.3. Для любой -окрестности точки (ось ) найдется такая -окрестность точки (ось ), что для всех точек этой окрестности, кроме, быть может, , соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки . Иначе говоря, точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , . Величина зависит от выбора , поэтому пишут .

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е. .

Если на рис. 1.3 устранить разрыв функции в точке , положив , то функция окажется непрерывной в этой точке.