Правила предельного перехода

Множество , дополненное двумя бесконечно удаленными точками, называется расширенной числовой осью и обозначается . . Арифметические операции над бесконечно удаленными точками будем осуществлять по следующим правилам:

1. , . 4. , .

2. . 5. , .

3. . 6. , .

Операции не определены.

Правила 1 и 4 – 6 определены вне зависимости от знака бесконечности.

Пусть . Если при функции и имеют конечные или бесконечные пределы, а – некоторая постоянная, то

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Формула (2.4) вытекает из формулы (2.2), если в качестве одного из сомножителей взять постоянную функцию . Приведенные формулы известны как теоремы о пределе суммы, произведения и частного.

Замечание. Операцию деления на ноль в правиле 6 нужно воспринимать в смысле предельного перехода, т. е. если и , но , то .

По формуле (2.3) и в силу правил 5, 6 имеем: если и , то ; обратно, если , то . Таким образом, функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот, функция, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой. Например, так как (1.2), то

. (2.5)

Рассмотрим композицию функций [1, 104]. Пусть функция имеет конечный или бесконечный предел при , т. е. , а функция непрерывна в точке . Тогда верна формула для предела композиции функций

(2.6)

Пример 2.1.Вычислить .

Решение. Воспользуемся формулам (2.1), (2.4) и непрерывностью постоянной и степенной функций (1.1):

=

= 3∙16 + 2∙4 – 2 + 1 = 55.

Обобщим полученный результат: предел многочлена при равен значению многочлена в точке .

Пример 2.2.Вычислить .

Решение.По формуле о пределе частного и правилу 5, получаем:

.

Пример 2.3.Вычислить , , .

Решение.Для всех слагаемых, за исключением последнего, имеем:

. Соотношения , можно использовать для вычисления предела многочлена только, если все слагаемые многочлена стремятся к бесконечности одного и того же знака. В общем случае это не так, потому что знак предела при нечетном определяется не только знаком , а зависит еще и от знака (1.2).

[вынесем из каждого слагаемого, в качестве общего множителя, переменную в наивысшей степени ] =

[2.5]=

[по правилу 4] = .

Итак, любой многочлен, степень которого не меньше 1, является бесконечно большой функцией при .

Пример 2.4.Вычислить .

Решение.Внутренняя показательная функция является бесконечно малой при , так как ее основание . Внешняя функция непрерывна в точке 0. По формуле (2.6) имеем:

.

Пример 2.5.Вычислить .

Решение. Сначала применим к многочлену, стоящему под корнем, прием, рассмотренный в примере 2.3.

[воспользуемся формулой о пределе произведения и учтем, что ] =

[применим формулу о пределе композиции функций] = .

Рассмотрим предел . Согласно результату, полученному в примере 2.5, имеем: . Однако данная операция над бесконечно удаленными точками не определена. При столкновении с какой-либо из неопределенных ситуаций: , принято говорить, что имеет место неопределенность соответствующего типа. Процесс вычисления предела в случае наличия неопределенности принято называть «раскрытием неопределенности». Раскрытию неопределенностей различных типов будет посвящен следующий раздел, в котором вернемся к подобному пределу.