Предел дробно-рациональной функции

Дробно-рациональной функцией называется частное двух многочленов , где , .

Интерес представляют два типа задач:

1. Вычислить . Неопределенность типа .

2. Вычислить , где – корень многочленов и [2, 21]. Неопределенность типа .

При вычислении могут возникнуть три различные ситуации.

Пример 2.6.Вычислить .

Решение.Так какчислитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, то имеем дело с неопределенностью .

= = [в числителе и знаменателе вынесем за скобки наивысшую степень ] =

= = [воспользуемся формулами (2.1) – (2.4)] = = .

Пример 2.7.Вычислить .

Решение.Выполним те же преобразования, что и в примере 2.6 и воспользуемся правилом 4:

= = = .

Пример 2.8.Вычислить .

Решение. = = = = –1.

Обобщим результаты, полученные в примерах 2.2 – 2.8:

(2.7)

Пример 2.9.Вычислить .

Решение.Сначалараскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе, а затем, сравнив степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, по формуле (2.7) вычислим предел:

= = =

= .

Обратите внимание, что в ходе преобразования числителя третьи степени неизвестного сокращаются, а значит, числитель есть многочлен второй, а не третьей степени. Если этого не заметить и сразу воспользоваться формулой (2.7), то получится неверный ответ !

При вычислении , где – корень многочленов и также возникают три различные ситуации.

Пример 2.10.Вычислить .

Решение.Найдем значения числителя и знаменателя в точке 1: .Значит, многочлены и – бесконечно малые функции при . Мы имеем дело с неопределенностью . Число 1 является корнем обоих многочленов, следовательно, они делятся на линейный многочлен , который и порождает неопределенность. Разделим числитель и знаменатель дроби на «уголком» [2, 19]:

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на :

.

Проверим, уничтожило ли данное преобразование неопределенность. Вычислив значения многочленов и в точке 1, видим, что неопределенность сохранилась. Снова разложим числитель и знаменатель полученной дроби на множители и сократим общий множитель . Как только неопределенность уходит, можно воспользоваться формулами о пределе частного и суммы функций:

.

Напомним, что число называется корнем многочлена кратности , если многочлен делиться нацело на , но уже не делится нацело на . Если , то говорят, что корень простой.

В примере 2.10 число является корнем многочленов и кратности 2.

Пример 2.11.Вычислить .

Решение.Проверкой убеждаемся, что является корнем обоих многочленов, и раскладываем числитель и знаменатель на множители. Сокращение общего множителя сразу уничтожает неопределенность:

= .

Число является простым корнем числителя и корнем знаменателя кратности 2.

Пример 2.12.Вычислить .

Решение. Рассуждаем так же, как и в предыдущих задачах:

.

Число является корнем числителя кратности 2 и простым корнем знаменателя.

Обобщим результаты, полученные в примерах 2.10 – 2.12: пусть число является корнем многочлена кратности и корнем многочлена кратности , тогда