Предел функций, содержащих иррациональные выражения

Пример 2.13.Вычислить .

Решение.Так как (пример 2.5), то исходный предел будет зависеть от того, куда стремится переменная . Пусть сначала . Тогда по правилу сразу находим:

.

Если же , то имеет место неопределенность . Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к нему . Затем в числителе полученной дроби воспользуемся формулой разности квадратов , полагая в ней :

.

Числитель и знаменатель последней дроби – бесконечно большие функции, таким образом, переходим от неопределенности к неопределенности , которая раскрывается вынесением из числителя и из знаменателя переменной в наивысшей степени:

= =

.

Ответ:

Пример 2.14.Вычислить .

Решение.В данном случае предел числителя и предел знаменателя равны нулю. Домножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:

.

Пример 2.15.Вычислить .

Решение.Прием умножения на сопряженное выражение не пригоден для вычисления этого предела. С целью уничтожения иррациональности в числителе воспользуемся формулой . Положим: , . Чтобы получить в числителе разность кубов, надо его умножить на выражение . Умножив числитель и знаменатель на эту величину, получим:

.

2.4. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые
функции

При решении практических задач используются замечательные пределы [1, с. 123, 124]:

– первый замечательный предел; (2.8)

– второй замечательный предел. (2.9)

Замечательные пределы позволяют установить ряд полезных предельных соотношений:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Пример 2.16.Вычислить .

Решение. Сначала найдем предел . Для решения предложенной задачи сделаем замену . Новая переменная , когда . Тогда в силу первого замечательного предела имеем:

.

Рассуждая аналогичным образом, и учитывая, что , находим:

.

В числителе исходной дроби выделим выражение , а в знаменателе выражение и применим формулы (2.3), (2.4). Тогда

.

Пусть и есть бесконечно малые функции при , т. е. и . Функции и называются эквивалентными бесконечно малыми при , если . Обозначается это так: .

Используя формулу (2.8) и предельные соотношения 1 – 8, составим таблицу важнейших эквивалентных бесконечно малых функций при .

Поясним сказанное на примерах.

Пример 2.17.Найти бесконечно малые, эквивалентные функциям:

1) при ; 2) при ; 3) при .

Решение:

1. Выражение при .Поэтому в роли бесконечно малого аргумента показательной функции из таблицы эквивалентностей выступает величина . Следовательно, при .

2. Рассматриваемая функция действительно является бесконечно малой: . Выражение при , следовательно: при .

3. Проверкой убеждаемся, что . В аргументе логарифма выделим единицу: . Выражение при . Тогда по таблице эквивалентностей имеем: при .

Пример 2.18.Вычислить .

Решение.Подстановкой убеждаемся, что имеет место неопределенность , для раскрытия которой применим следующее утверждение.

Теорема 2.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

И числитель, и знаменатель дроби – бесконечно малые. В примере 2.17 определена бесконечно малая, эквивалентная числителю: при . Рассуждая аналогичным образом, получаем: при . После замены числителя и знаменателя найденными эквивалентными бесконечно малыми, придем к пределу отношения двух многочленов:

.

Замечание. Предел (пример 2.16) можно вычислить значительно быстрее, если заменить числитель и знаменатель эквивалентными им бесконечно малыми. Так как , а при , то .

Согласно теореме 2.1, замена по таблице эквивалентностей разрешена в частном и произведении бесконечно малых функций, а вот в сумме или разности бесконечно малых функций она не законна. Однако некоторые пределы, содержащие сумму или разность бесконечно малых, можно вычислить, если перед тем, как осуществлять замену эквивалентными, воспользоваться теоремой о пределе суммы.

Пример 2.19.Вычислить .

Решение.Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, следующим образом: . По таблице эквивалентностей: и при . Тогда, применив теорему о пределе суммы и заменив бесконечно малые эквивалентными уже в отношениях, получим:

.

Но даже предварительное применение теоремы о пределе суммы или разности не гарантирует уничтожения неопределенности. Например,

.