Предел показательно-степенной функции

Напомним, что функция , основание и показатель степени которой являются функциями, зависящими от переменной , называется показательно-степенной. Пользуясь тождеством и свойством логарифмической функции , представим показательно-степенную функцию в виде . В силу непрерывности показательной функции по формуле (2.6) получаем:

. (2.10)

Таким образом, нахождение исходного предела сводится к нахождению предела . Показательно-степенные выражения в пределе могут порождать три типа неопределенности: , , . Для раскрытия неопределенности можно использовать второй замечательный предел .

Правила вычисления :

1. Если функции и имеют при конечные пределы, то справедливо соотношение

. (2.11)

2. Во всех остальных случаях рекомендуется перейти к основанию по формуле (2.10), вычислить предел и воспользоваться свойствами показательной функции .

Пример 2.28.Вычислить .

Решение.Так какоснование и показатель степени имеют при конечные пределы: , , то по формуле (2.10) получаем:

.

Пример 2.29.Вычислить .

Решение. Согласно формуле (2.7) . Пользуясь свойствами показательной функции с основанием, большим единицы: и , окончательно получаем:

и .

Пример 2.30.Вычислить .

Решение. Найдем пределы основания и показателя степени при :

; .

Однако поведение показательной функции на бесконечности существенно зависит от знака бесконечно удаленной точки. Для показательной функции с основанием, меньшим единицы, имеем: и . Проанализируем поведение функции при . Если стремится к 1 справа, т. е. оставаясь все время больше 1, то разность стремится к нулю, также оставаясь положительной. Следовательно, . При стремлении к 1 слева будет меньше 1, а разность стремится к нулю, оставаясь отрицательной. В этом случае . Тогда предел исходной показательно-степенной функции будет зависеть от того, с какой стороны приближается к 1:

и .

Пример 2.31.Вычислить .

Решение. Неопределенность можно раскрыть, не прибегая к формуле (2.10), а пользуясь вторым замечательным пределом. Воспользуемся свойством показательной функции и преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, следующим образом:

.

По второму замечательному пределу (2.9) имеем:

.

Кроме того, . Тогда по формуле (2.11) окончательно получаем:

Список литературы

1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.

2. Комплексные числа и многочлены: Методические указания к решению задач / Сост.: М. Н. Абрамова, Е. А. Толкачева, А. И. Куприянов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007.

Содержание

1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. 3

1.1. Окрестность точки. 3

1.2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке. 4

1.3. Предел функции на бесконечности. 5

1.4. Бесконечно большая и бесконечно малая функции. 6

1.5. Односторонние пределы.. 7

1.6. Элементарные функции. 7

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ.. 11

2.1. Правила предельного перехода. 11

2.2. Предел дробно-рациональной функции. 14

2.3. Предел функций, содержащих иррациональные выражения. 18

2.4. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции. 21

2.5. Пределы, содержащие тригонометрические функции. 25

2.6. Пределы выражений, содержащих показательную,
логарифмическую и степенную функции. 27

2.7. Предел показательно-степенной функции. 29

Список литературы.. 31

Редактор И. Г. Скачек

__________________________________________________________________

Подписано в печать Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Печ. л. 2.0.

Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ

__________________________________________________________________

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5