Пределы, содержащие тригонометрические функции

При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, как правило, приходится обращаться к таблице эквивалентностей, предварительно преобразовав выражение с помощью тригонометрических формул.

Пример 2.20.Вычислить .

Решение.

.

Пример 2.21.Вычислить .

Решение.Вычислить этот предел в 2.4 не удалось. Рассмотрим другой путь рассуждений. С помощью преобразований перейдем в числителе от разности бесконечно малых к произведению бесконечно малых и заменим эквивалентными в произведении.

.

В некоторых случаях применение тригонометрических преобразований позволяет раскрыть неопределенность, не обращаясь к таблице эквивалентностей.

Пример 2.22.Вычислить .

Решение.Так как и , то имеем неопределенность . Имеет смысл преобразовать знаменатель по формуле , а потом разложить знаменатель на множители как разность квадратов. После сокращения общего множителя в числителе и знаменателе, неопределенность уйдет:

.

Пример 2.23.Вычислить .

Решение.Известно, что . Выражение, стоящее под знаком предела, дает неопределенность при . Уничтожить неопределенность только посредством преобразований, как это было сделано примере 2.22, не удастся. Сделаем замену переменной так, чтобы новая переменная стремилась к нулю. Положим , при , а . Далее воспользуемся формулой приведения :

.

Замечание. Предел также вычисляется путем замены переменной: и последующим применением формул приведения. Однако было бы ошибкой сразу прибегнуть к таблице эквивалентностей: . Дело в том, что аргументы данных функций – и не являются бесконечно малыми при .

2.6. Пределы выражений, содержащих показательную,
логарифмическую и степенную функции

Пример 2.24.Вычислить .

Решение.Так как , то выражение, стоящее под знаком предела, при дает неопределенность . Воспользуемся свойствами показательной функции: и преобразуем числитель дроби следующим образом: . Тогда

.

Пример 2.25.Вычислить .

Решение. В скобках воспользуемся свойством логарифмической функции: и выделим в аргументе логарифма единицу: Легко видеть, что , а выражение при . По таблице эквивалентностей имеем: при , =

.

Пример 2.26.Вычислить .

Решение. Поскольку по определению логарифма , надо раскрыть неопределенность .Введем новую переменную, так чтобы она стремилась к нулю и сделаем замену в пределе:

.

Пример 2.27.Вычислить .

Решение.Применим к степенным выражениям соотношениеи сделаем в пределе замену с целью воспользоваться эквивалентно­стью при . Тогда =

=

.