И бесконечно малых функций.

1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

2.Произведение бесконечно малой при функции на функцию ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки , является бесконечно малой функцией при .

3.Сумма бесконечно больших одного итого же знака при функций есть бесконечно большая того же знака при функция.

4.Произведение бесконечно большой при функции и функции, имеющей предел, отличный от нуля при есть бесконечно большая при функция.

Теорема 1.1 о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.Если функция является бесконечно малой при и в некоторой проколотой окрестности точки , то функция является бесконечно большой при . И, наоборот, если функция является бесконечно большой при и в некоторой проколотой окрестности точки , то функция является бесконечно малой при .

Теорема 1.2 об арифметических операциях с пределами.Пусть -точка сгущения множества Х. Если существует конечные пределы , то , , если .

Итак, согласно этой теореме, если пределы двух функций конечны, то автоматически можно посчитать предел алгебраической суммы, произведения и частного (если предел знаменателя отличен от нуля). Рассмотрим те ситуации, которые исключены из условия этой теоремы.

Сумма.

А) Если одно из слагаемых имеет конечный предел ( ), другое – бесконечный ( ), тогда по свойству бесконечно больших функций предел их алгебраической суммы равен бесконечности. При помощи символов это можно записать следующим образом: .

Б) Если оба слагаемых имеют бесконечные пределы, то важно знать какого знака эти пределы. Если обе функции имеют бесконечные пределы одинаковых знаков ( или ), то по свойству бесконечно больших функций предел их суммы будет равен бесконечности того же знака. . Если обе функции являются бесконечно большими разных знаков ( ), то ничего определенного о пределе их суммы сказать нельзя (величина предела зависит от конкретного примера), ∞-∞ - неопределенность.