НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

2.1 Основные определения и теоремы.Дадим одно из определений непрерывной функции, наиболее удобное в применении при исследовании функции на непрерывность. Для этого нам понадобится понятие одностороннего предела.

Определение 2.1.Величина А, которая является либо числом, либо символом +∞(-∞) называется правосторонним (левосторонним) пределом или пределом справа (слева) функции при , если . Обозначается .

Между односторонними пределами и обычным пределом существует взаимосвязь:

Теорема 2.1.Для того чтобы существовал обычный предел функции при ,равный А, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела, одинаковых между собой и равных А: .

Определение 2.1.Пусть , -точка сгущения множества Х. Функция называется непрерывной в точке , если

1) ;

2) существуют конечные односторонние пределы .

При исследовании функции на непрерывность используют следующие две теоремы:

Теорема 2.2 об арифметических операциях с непрерывными функциями.Если функции непрерывны в точке , то функции и последняя при условии, что непрерывны в точке .

Теорема 2.3 о непрерывности сложной функции.Пусть , -точка сгущения Х, . Функция , -точка сгущении , . Если функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , то функция непрерывна в точке .

Утверждение 2.1.Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Замечание. К элементарным функциям относятся функции ; и любые функции, полученные из этих путем конечного числа алгебраических действий и суперпозиций.

Итак, если функция удовлетворяет условиям определения 2.1, то точка называется для функции точкой непрерывности. Если хотя бы одно из условий этого определения нарушено, то точка будет являться точкой разрыва.