Раскрытие неопределенности вида .

Для раскрытия такой неопределенности нужно в числителе и знаменателе дроби выделить множитель вида , так как именно этот множитель при дает ноль в числителе и знаменателе, тем самым создавая неопределенность .Поэтому необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби. Напомним простейшие способы разложения на множители:

1) Вынесение общего множителя за скобки.

2) Разложение по формулам сокращенного умножения

(1)

(2)

3) Разложение на множители квадратного трехчлена:

, (3)

где -корни квадратного трехчлена, которые находятся по формуле: .

Пример 1.7.Вычислить

Решение.Очевидно, что при и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Поэтому имеем неопределенность . Значит, нам нужно разложить на множители числитель и знаменатель. Для этого в числителе применим формулу разности квадратов, а в знаменателе формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Найдем предварительно корни квадратного трехчлена .

. Следовательно, . Тогда и

Теперь в числителе и знаменателе появился общий множитель . Именно он создавал неопределенность , так как при множитель (в следствие этого и числитель, и знаменатель стремятся к нулю). Сократим дробь на (это можно сделать, так как , но ). Тогда неопределенность уйдет, так как у оставшейся дроби числитель будет стремиться к 6, а знаменатель к 15 при .

.

Пример 1.8Вычислить

Решение.При числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, следовательно, имеем неопределенность . Необходимо выделить в числителе и знаменателе множитель . Для этого разложим знаменатель на множители, используя формулу (3). Найдем предварительно корни многочлена :

; . Тогда . А в числителе избавимся сначала от иррациональности, домножив и разделив дробь на сопряженное выражение (как мы поступали при неопределенности ∞-∞ в пределах, содержащих квадратные корни). Получим