Классификация точек разрыва.

По своему характеру точки разрыва делятся на три класса.

1) Если существуют конечные односторонние пределы, причем , то точка называется точкой устранимого разрыва.

2) Если существуют конечные односторонние пределы, причем , то точка называется точкой неустранимого разрыва 1-го рода.

3) Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности либо не существует, то точка называется точкой неустранимого разрыва 2-го рода.

Пример 2.1.Определить на каком множестве функция непрерывна, найти точки разрыва и их классифицировать:

Решение.Для того, чтобы знать, где функция непрерывна, нужно, по крайней мере, знать, где она определена. Дробь определена, когда определен ее числитель, знаменатель, и когда знаменатель отличен от нуля. Тригонометрическая функция определена при любых , многочлен, стоящий в знаменателе также определен всюду на . Поэтому дробь будет определена в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля: . Следовательно, . Тогда область определения нашей функции . Числитель представляет собой сложную функцию, составленную из элементарных функций и , непрерывных на . Поэтому числитель непрерывен на по теореме о непрерывности сложной функции. Знаменатель также непрерывен на как сумма непрерывных на функций. Тогда вся функция непрерывна как частное непрерывных функций в тех точках, где знаменатель не равен нулю, то есть на множестве .

Итак, все точки, вошедшие в область определения, являются для нашей функции точками непрерывности. В область определения не вошли точки . Они являются точками сгущения области определения, но сами ей не принадлежат. Следовательно, эти точки являются точками разрыва функции , так как для них нарушается 1-ое условие определения 1. Установим, к какому классу относятся эти точки. Из классификации видно, что принадлежность точки к тому или иному классу зависит от существования и величин односторонних пределов при , где - точка разрыва.

Исследуем точку . Найдем односторонние пределы функции при и .

При вычислении этого предела , мы использовали в числителе переход к эквивалентным (это можно было сделать, так как вычисляем предел дроби и аргумент синуса при . Метод вычисления этого предела не зависел от того, с какой стороны приближается к нулю. Поэтому левосторонний предел будет вычисляться аналогично, и получим . Итак . Следовательно, согласно классификации, точка является точкой устранимого разрыва.

Теперь исследуем точку . Найдем односторонние пределы функции при и . При числитель дроби (это константа, причем , так как на числовой окружности точка, соответствующая числу -2 лежит в третьей четверти). Знаменатель при , причем так как , то . Тогда (числитель и знаменатель – отрицательные, значит результат положительный, и ). Тогда мы попадаем в ситуацию, описанную в третьем пункте классификации. Значит, точка является точкой неустранимого разрыва 2-го рода.

Пример 2.2.Определить на каком множестве функция непрерывна, найти точки разрыва и их классифицировать: .

Решение.Начнем исследование, как и в предыдущем примере, с нахождения области определения. Числитель и знаменатель в отдельности определены всюду на . Поэтому дробь будет определена в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля: . Следовательно, . Тогда область определения нашей функции . Функции, стоящие в числителе и знаменателе являются непрерывными на . Следовательно, исходная функция непрерывна как частное непрерывных функций на множестве, где знаменатель не обращается в ноль, то есть в .

Точки, не вошедшие в область определения , являются точками сгущения , но ей не принадлежат, следовательно, являются точками разрыва. Чтобы установить какого они типа, найдем односторонние пределы. При числитель , знаменатель , причем, так как , то . Следовательно, . Тогда мы попадаем в ситуацию, описанную в третьем пункте классификации. Значит, точка является точкой неустранимого разрыва 2-го рода.

Если (т.е. и ), то . И, значит, . Тогда

Если (т.е. и ), то . И, значит, . Тогда

Так как , то мы попадаем в ситуацию, описанную во втором пункте классификации. Значит, точка является точкой неустранимого разрыва 1-го рода.