Вычисление пределов с помощью перехода к эквивалентным.

Определение 1.5.Функции и называются эквивалентными при , если . В этом случае пишут .

Ясно, что предел дроби равен 1, тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые пределы, то есть две функции эквивалентны при тогда и только тогда, когда . Эквивалентными являются следующие функции:

Следует отметить, что аргумент у функций, приведенных в таблице эквивалентных, может быть, вообще говоря, каким угодно, необязательно , а какой-нибудь функцией , тогда, например, будет эквивалентен своему аргументу при , если при . Иными словами, функции синус, тангенс, арксинус, арктангенс эквивалентны при своим аргументам, если аргументы стремятся к нулю при . Тогда будем иметь: если при , то

Имеет место

Теорема 1.3 о переходе к эквивалентным при вычислении пределов.При рассмотрении предела произведения или частного функций, эти функции можно заменять на эквивалентные вблизи точки рассмотрения, не изменив при этом существования и величины предела.

Пример 1.9.Вычислить

Решение.При числитель стремится к нулю (так как ), знаменатель так же стремится к нулю. То есть имеем дело с неопределенностью , поэтому, как уже отмечалось выше, необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель . В числителе это можно сделать за счет перехода к эквивалентным, если только этот прием применим в нашем примере. Мы уже отмечали, что, во-первых, к эквивалентным можно переходить только в произведении или дроби, и, во-вторых, синус эквивалентен своему аргументу, только если аргумент стремится к нулю при ( из условия примера). Поэтому нам необходимо проверить выполнение этих двух условий. Первое, очевидно, выполнено (перед нами по условию предел дроби). Второе условие тоже выполняется, так как аргумент синуса при . Следовательно, , и можно заменить на . Тогда, получим

После этой операции неопределенность никуда не исчезла (и числитель, и знаменатель по-прежнему стремятся к нулю), но числитель стал гораздо проще. Такого типа примеры мы уже рассматривали выше, и отмечали, что для того, чтобы избавиться от неопределенности, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Для этих целей в знаменателе применим формулу суммы кубов, а в числителе вынесем за скобку общий множитель 3. Имеем

.

Пример 1.10.Вычислить

Решение.При числитель стремится к нулю (так как ), знаменатель так же стремится к нулю. То есть имеем дело с неопределенностью . Пример содержит обратную тригонометрическую функцию арктангенс. Можно ли его заменить на эквивалентную? Аргумент арктангенса при , но сам арктангенс включен в сложную функцию (он еще возводится в квадрат). В сложной функции переходить к эквивалентным нельзя. Но так как вторую степень можно представить в виде произведения, а в произведении переход к эквивалентным возможен, то и в нашем случае арктангенс можно заменить на эквивалентную: .

Получили . То есть, при замене на эквивалент функции, стоящей в степени N, эквивалент наследует эту степень, то есть тоже возводится в степень . (Заметим, что вообще говоря, последнее утверждение справедливо не только для натуральных показателей степени, но и для любого ). Тогда

Осталось выделить множитель в знаменателе. Для этого применим формулу разности квадратов:

.

Пример 1.11.Вычислить

Решение.Снова имеем дело с неопределенностью . Так как перед нами дробь, а в числителе стоит произведение, то в первом его множителе можно перейти к эквивалентным, если его аргумент стремится к нулю. Действительно, при , следовательно, . Поскольку второй множитель является разностью, а в разности, не смотря на то, что аргументы синусов стремятся к нулю при , переходить к эквивалентным нельзя, то первым делом нужно сделать из разности произведение. Это можно сделать при помощи формулы разности синусов

.

Вспомним заодно и другие формулы, позволяющие приводить сумму (разность) тригонометрических функций в произведение:

Итак, по формуле разности синусов .

Получили произведение, в нем присутствует , аргумент которого при , следовательно, . Так как при , то в произведении мы можем заменить этот множитель его пределом (то есть 1), и это тоже будет считаться переходом к эквивалентным. Действительно, если , то , а, значит, .

Далее, знаменатель дроби, как уже отмечалось, стремится к нулю, значит там тоже нужно проводить преобразования, которые в первую очередь позволят избавиться от тригонометрической функции. Разность, стоящую в знаменателе, можно преобразовать по формуле:

.

Получим . Здесь мы могли перейти к эквивалентным, так как аргумент синуса при . (Обратите внимание, аргумент синуса наследовал степень синуса при замене его на эквивалентные). Итак, возвращаясь к примеру, имеем

.

Замечание. При решение этого примера мы обсудили такой момент, которым в дальнейшем будем пользоваться: если в произведении или дроби присутствует множитель, имеющий конечный предел, отличный от нуля (не создающий неопределенность), то можно этот множитель заменить его пределом, что будет также считаться переходом к эквивалентным.

Пример 1.12.Вычислить

Решение.Так как и , то снова имеем неопределенность . И опять в первую очередь нужно избавиться от тригонометрических функций. Несмотря на то, что в числителе стоит , который присутствует в таблице эквивалентных, и мы имеем дело с пределом частного, переходить к эквивалентным в числителе нельзя, так как аргумент синуса не стремится к нулю при . Поэтому сначала преобразуем аргумент так , чтобы он стал стремиться к нулю. По условию примера он стремится к π, тогда выражение при . Следовательно, в аргументе у синуса выполним следующие преобразования: вычтем и прибавим, чтобы ничего не изменилось π: . Затем с помощью формулы приведения избавимся от «лишнего» π, получим . Теперь новый аргумент синуса стремится к нулю и можно переходить к эквивалентным . Тригонометрической функции косинус, стоящей в знаменателе, в таблице эквивалентных нет, поэтому нужно провести преобразования, которые преобразуют косинус в синус, и побеспокоиться о том, чтобы у полученного синуса аргумент стремился к нулю. Сейчас аргумент косинуса при . Поэтому он будет стремиться к нулю, если мы вычтем и прибавим (чтобы ничего не изменилось) : . От «лишнего» избавимся по формуле приведения , получим . Теперь в знаменателе появится синус и его аргумент при , и , значит можно будет перейти к эквивалентным . Тогда