Вопрос № 17. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом β (рис.3.5).

Рис.3.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры - тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту . В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию (рис.3.5).

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z1 и z2 - удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и 2-2;
- удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;
- удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна.

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность. Глядя на рис.3.5, можно заметить, что z1 и z2 - геометрические высоты сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения; - пьезометрические высоты; - скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.

Вопрос №18 Геометрическая и энергетическая интерпритация уравнения Д. Бернулли.

Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z. Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.

Как и в гидростатике, величину Z называют нивелирной высотой.

Второе слагаемое - носит название пьезометрическая высота. Эта величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении, под действием давления P.

Сумма первых двух членов уравнения ѕ гидростатический напор.

Третье слагаемое в уравнения Бернулли называется скоростной высотой или скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость u при отсутствии сопротивления движению.

Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором и, как уже было сказано, обозначают буквой Н.

Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.

Значения - нивелирную, пьезометрическую и скоростную высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых равны , называется пьезометрической линией. Если к этим высотам добавить скоростные высоты, равные , то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией.

Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.

Выше было получено уравнение Бернулли с использованием

энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор.

С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости.

Здесь с энергетической точки зрения (в единицах энергии, Дж/кг) gz — удельная потенциальная энергия положения; Р/r — удельная потенциальная энергия давления; gz + Р/r — удельная потенциальная энергия; u²/2 — удельная кинетическая энергия; и — скорость элементарной струйки идеальной жидкости.

Умножив все члены уравнения на удельный вес жидкости g, получим

gz - весовое давление, Па; P — гидродинамическое давление, Па; rи² /2 — динамическое давление Па; gH — полное давление, Па

Вопрос №19. Два режима движения жидкости. Число Рейнольдса.

В 1883 году английским учёным Осборном Рейнольдсом (1842-1912 гг.) было установлено, что критерием режима течения жидкости является безразмерная величина, представляющая собой отношение произведения средней скорости потока и линейного размера, характерного для живого сечения, к кинематической вязкости жидкости n.

Критерий режима течения жидкости называется числом Рейнольдса.

При течении жидкости в круглых трубах за характерный размер l объёма принимается внутренний диаметр трубы D, тогда

.

Пример. Установить, какой режим будет в трубе диаметра D=20 см, если средняя скорость , а кинематическая вязкость .

Розв`язування. = 60000 > 1000 - режим турбулентний.

Опытные данные Рейнольдса показывают наличие трёх областей:

АК - ламинарной, ВК - переходной или неустойчивый, ВС - турбулентной ( рис. 41 ).

Рис. 41

Точки К и В называются критическими точками, точками, в которых происходит смена режима течения.

Ниже точки К режим всегда ламинарный, выше точки В - турбулентный.

В зависимости от изменения скорости от малых значений к большим и от больших к малым ламинарный режим удерживается до точки В при увеличении скорости, или при уменьшении до точки К.

Значение числа Рейнольдса, соответствующее нижней критической точке К, называется нижним критическим числом Рейнольдса, число Re соответствует верхней критической точке - верхним критическим числом Рейнольдса.

Нижнее число Рейнольдса Re= 956.

Переход к турбулентному режиму зависит (помимо скорости течения, вязкости и характерного размера) от ряда факторов - источников питания трубопровода, шероховатости труб, местных сопротивлений и т.д. Верхнее число Рейнольдса обычно принимают равным Re= 5000.

На практике ламинарный режим встречается

1) при движении очень вязких жидкостей,

2) при движении жидкости в тонких ( капилярных ) трубах,

3) при движении воды в грунтах.

Турбулентный режим наблюдается значительно чаще: при движении в каналах, трубах и т.д.

Профиль скорости при ламинарном и турбулентном режиме течения

При ламинарном режиме жидкости движение как бы разделяется на бесконечно большое число тонких коаксиально расположенных относительно оси трубопровода слоёв.

Распределение скоростей по сечению имеет вид параболы. Скорость у стены равна нулю. При удалении от стенки скорости возрастают и достигают максимума на оси трубы.

а б

Рис. 42

Определим закон распределения скорости. Выделим объём жидкости в виде цилиндра радиуса r и длиной l и составим уравнение равновесия ( рис. 42 )

.

Движение установившееся, скорости на одном радиусе одинаковы.

.

С учётом гидравлического уклона

,

имеем

.

Проинтегрируем по сечению трубы, учитывая, что при r=r0 и u=0, получим закон распределения скоростей в сечении

.

Максимум скорости при r=0

.

Определим расход жидкости через трубу

.

Средняя скорость

.

Соотношение между максимальной и средней скоростью

.

Турбулентный режим движения жидкости характеризуется беспорядочным движением частиц. При этом режиме частицы жидкости движутся по произвольным траекториям и с различной скоростью. Скорость изменяется по величине и направлению около среднего значения.

Такое изменение скорости называется пульсацией скорости. Среднюю по времени скорость называют осреднённой скоростью. Связь между осреднённой и мгновенной скоростью может быть выражена зависимостью

,

где Т - период наблюдения.

Распределение скоростей течения в этом случае выглядит иначе, чем при ламинарном режиме( рис. 43 ).

Рис. 43 1-ламинарная плёнка, 2-переходный слой, 3-ядро турбулентного потока

В ламинарной пленке и переходном слое скорости течения изменяются так же, как при ламинарном режиме течения. В переходной зоне зарождаются вихри, обусловленные увеличением скорости движения, влиянием выступов шероховатости.

Если выступы шероховатости меньше толщины ламинарной пленки, стенка будет гидравлически гладкой. При величине выступов выше толщины ламинарной пленки, неровности стенок будут увеличивать беспорядочность движения и стенка будет гидравлически шероховатой.

Возникающие в пограничном слое вихри проникают в центральную часть потока и образуют ядро турбулентного течения. В ядре потока происходит интенсивное и непрерывное перемешивание частиц жидкости.

Для описания профиля скорости в ядре течения турбулентного состояния используется логарифмический закон распределения скоростей

.

Величина коэффициента трения зависит от режима течения жидкости.

Опытами было установлено, что при течении жидкости возможны два режима: ламинарный и турбулентный.

Рис. 39

При ламинарном режиме жидкость течёт слоями, не перемешиваясь ( рис. 39 ).

Рис. 40

При турбулентном частицы жидкости интенсивно перемешиваются ( рис. 40 ).

Ламинарное и турбулентное течение жидкости можно наблюдать в стеклянной трубе В ( рис. 39, 40 ).

Питание трубы производится из бака, а скорость течения регулируется краном С. Для наблюдения за характером движения жидкости по тонкой трубке в трубу В подводится подкрашенная жидкость такой же плотности, как и движущаяся жидкость (например, чернило).

При малых скоростях в трубе В струйка продолжает двигаться, не перемешиваясь с остальной жидкостью, что указывает на ламинарный режим течения.

При больших скоростях в трубе струйка очень сильно перемешивается со всей жидкостью, что указывает на турбулентный режим.