И СЕМИНАРСКИМ ЗАНЯТИЯМ

1. ВВЕДЕНИЕ: Учебные и воспитательные цели.

- Применение теоретических положений к решению конкретных задач дифференциальной геометрии.

- Умение использовать основные понятия и методы дифференциальной геометрии для решения задач элементарной геометрии.

- Развитие математической культуры.

2. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Атанасян Л.С.и др. Сборник задач по геометрии.- Часть 2.- М.: Просвещение, 1975.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2. - М.: Просвещение, 1987.

3. Львова Л.В.Геометрия. Дифференциальная геометрия: учебное пособие. – Барнаул: Изд-во БГПУ, 2005. 104 с.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № _1_

Тема: Различные уравнения кривой в пространстве. _

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Понятие кривой. Параметризация кривой. Различные уравнения кривой. Регулярная кривая.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить §§ 1.2 – 1.4 в учебном пособии [3].

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1. Показать, что кривая , заданная параметрически, совпадает с кривой , заданной явными уравнениями:

3.Показать, что соотношения:

являются различными параметрическими представлениями одной и той же окружности, лежащей в плоскости .

4.Пусть — пересечение цилиндрической поверхности x с плоскостью x+y+z=1. Написать параметрическое представление кривой , не содержащее радикалов.

5.Доказать, что кривая является регулярной и лежит на конической поверхности. Определить угол между этой кривой и образующей конуса в точке с параметром .

6.Дано параметрическое представление кривой на плоскости:

Показать, что функции, определяющие кривую, имеют непрерывные производные для всех , однако кривая не регулярна.

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1.Показать, что кривая , заданная параметрически, совпадает с кривой , заданной явными уравнениями:

2.Пусть — пересечение цилиндрических поверхностей z и y . Написать параметрическое представление кривой , не одержащее радикалов.

3.Доказать, что кривая является регулярной и лежит на сферической поверхности с центром в точке Определить радиус сферической поверхности.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № _2_

Тема: _______ Длина кривой. _____

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Понятие кривой. Параметризация кривой. Различные уравнения кривой. Регулярная кривая.

Длина кривой, естественная параметризация.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить §§ 1.2 – 1.4 в учебном пособии [3].

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1.Винтовая линия задана уравнением Записать ее уравнения в естественной параметризации.

2.Записать в естественной параметризации уравнение кривой

3.Найти длину дуги кривой между плоскостями , y=9a

4.Найти длину дуги кривой между точками, соответствующими значениям параметра t

5. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1. Вычислить длину дуги кривой заключенной между точками M .

2.Кривая задана уравнением

Показать, что параметризация является естественной.

3.Найти длину дуги кривой между точками t=1 t=10

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № __3____

Тема: Сопровождающий трехгранник кривой._____________ __

Продолжительность _2_ часа

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Касательная к кривой. Соприкасающаяся плоскость. Сопровождающий трехгранник кривой.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить § 1.7 в учебном пособии [3].

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1.Составить уравнения касательной, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали и спрямляющей плоскости винтовой линии Доказать, что главная нормаль пересекает ось винтовой линии под прямым углом, а бинормаль образует с ней постоянный угол. Найти векторы базиса Френе.

2.Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости винтовой линии в точке .

3.В каких точках касательная к кривой параллельна плоскости ?

4.Составить уравнение касательной к кривой в ее произвольной точке.

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

Решить задачи:

1.Задана кривая . Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в точке . Какая кривая получается в пересечении касательных с плоскостью ?

2.Составить уравнение соприкасающейся плоскости кривой

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № __4____

Тема: Сопровождающий трехгранник кривой (продолжение)_ __

Продолжительность _2_ часа

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Касательная к кривой. Соприкасающаяся плоскость. Сопровождающий трехгранник кривой.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить § 1.7 в учебном пособии [3].

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1.Показать, что нормальные плоскости кривой (0 , проходят через фиксированную точку пространства. Определить координаты этой точки.

2.Доказать, что соприкасающиеся плоскости винтовой линии , ( , ) образуют с координатной плоскостью постоянный угол . Определить этот угол.

3.Найти точки на кривой в которых бинормаль параллельна плоскости .

4.Написать уравнения главной нормали винтовой линии ( , ) и показать, что все главные нормали этой кривой лежат на поверхности

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

Решить задачи:

1.Написать уравнения главной нормали винтовой линии

( , ) и показать, что все главные нормали этой кривой лежат на поверхности

2.Найти единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали в произвольной точке кривой , 2xz=a

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № ___5____

Тема: Кривизна кривой._________ _____

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Кривизна кривой, формулы для вычисления. Кручение кривой, формулы для вычисления. Формулы Френе. Натуральные уравнения.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить [3], §§ 1.8 – 1.10 .

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1. Найти кривизну и кручение кривой в произвольной точке.

2. Найти кривизну конической винтовой линии в начале координат.

3.Найти кручение кривой в произвольной точке

4.Доказать, что кривизна и кручение линии равны:

1.Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1.Найти кривизну и кручение кривой в произвольной точке.

2.Составить натуральные уравнения кривой: 0<t< , a ).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № ___6___

Тема: Кручение кривой._________ _____

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Кривизна кривой, формулы для вычисления. Кручение кривой, формулы для вычисления. Формулы Френе. Натуральные уравнения.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить [3], §§ 1.8 – 1.10 .

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1.Определить кручение кривой в точке .

2.Найти при каких значениях и кручение кривой во всех точках равно ее кривизне.

3.Доказать, что кривая плоская и составить уравнение плоскости, в которой она лежит.

4.Составить натуральные уравнения следующих кривой: a , b ).

2. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1.. Определить координаты точки, в которой кривая

имеет наибольшее кручение.

2.Составить натуральные уравнения кривой: 0<t< , a ).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № __7__

Тема: Различные уравнения поверхности.___________

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Понятие поверхности. Различные уравнения поверхности. Регулярные поверхности.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить [3], §§ 2.1, 2.2.

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1.Написать параметрические уравнения следующих поверхностей вращения второго порядка: сферы; кругового конуса.

2.Написать параметрические уравнения следующих поверхностей вращения второго порядка: . эллипсоида;

3.Показать, что уравнения и задают одну и ту же поверхность.

4.Написать параметрические уравнения поверхности, образованной касательными к винтовой линии

По какой линии эта поверхность пересекает плоскость ?

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1.Написать параметрические уравнения следующих поверхностей вращения второго порядка: параболоида вращения; кругового цилиндра;

2.Написать параметрические уравнения следующих поверхностей вращения второго порядка: . однополостного гиперболоида;

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № __8___

Тема: Касательная плоскость и нормаль к поверхности. _______

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Внутренние уравнения кривой на поверхности. Определение касательной плоскости и нормали поверхности. Различные уравнения касательной плоскости и нормали поверхности.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить [3], § 2.3 .

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1.Написать уравнение касательной плоскости и нормали к прямому геликоиду .

2.На поверхности дана точка :

а) написать уравнения касательных прямых и нормальных плоскостей к координатным линиям , в точке ;

б) найти угол между этими линиями;

в) показать, что касательная в точке к кривой является касательной к координатной линии в той же точке.

3.Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке .

4.Показать, что касательные плоскости поверхности проходят через начало координат.

5.К поверхности провести касательную плоскость, параллельную плоскости .

6.Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M(1, .

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1.Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке .

2.Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке к поверхности .

3.Дана поверхность . В ее точке написать уравнения касательной плоскости, нормали к поверхности и касательной к линии .

4.Показать, что касательная плоскость в произвольной точке поверхности отсекает на осях координат отрезки, сумма квадратов которых есть величина постоянная.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № ___9___

Тема: Первая квадратичная формы поверхности._______

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Определение первой квадратичной формы. Длина кривой. Угол между кривыми. Площадь поверхности.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить [3], §§ 2.4 – 2.6 .

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1.Найти первую квадратичную форму геликоида .

3.Найти угол между линиями v=2u и v= –2u на поверхности, имеющей первую квадратичную форму .

4.Найти, под каким углом пересекаются кривые u+v=0 и u-v=0 на прямом геликоиде .

3.Найти угол между кривыми v=u–3 и v=–2u на поверхности .

3. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1.Дана поверхность

0 , 0 ).

Найти длину дуги кривой , a ), заключенной между точками и .

2.Дана поверхность

1). Найти первую квадратичную форму.

2). Вычислить дифференциал длины дуги для линий , v=1 v=au

3). Вычислить длину дуги линии v=au между точками ее пересечения с линиями u=1 u=2

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № __10____

Тема: Вторая квадратичные формы поверхности._______

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Определение второй квадратичной формы. Нормальная кривизна поверхности.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить [3], §§ 2.4 – 2.6 .

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1.. Дана поверхность . Найти нормальную кривизну кривой в точке этой поверхности.

2.Найти нормальную кривизну в произвольной точке и в произвольном направлении поверхности .

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1.Дана поверхность Найти вторую квадратичную форму.

2.Найти нормальную кривизну в произвольной точке и в произвольном направлении поверхности . .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № ___11____

Тема: Главные кривизна поверхности._________

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Главные направления. Линии кривизны поверхности. Главные кривизны.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить, §§ 2.10, 2.11 в учебном пособии [3].

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1. Составить дифференциальные уравнения линий кривизны геликоида .

2. Показать, что координатные линии поверхности

являются линиями кривизны.

3. Найти главные кривизны прямого геликоида

.

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1. Составить дифференциальные уравнения линий кривизны прямого геликоида .

2. Вычислить главные кривизны поверхности в точке .

3.Вычислить главные кривизны поверхности в точке .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № ___12____

Тема: Полная и средняя кривизна поверхности._________

Продолжительность _2_ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Полная и средняя кривизна

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить, §§ 2.10, 2.11 в учебном пособии [3].

3. Практические задачи, задания, упражнения.

1. Найти полную и среднюю кривизну прямого геликоида . .

Решение. Полная и средняя кривизны.

2. Найти полную и среднюю кривизну гиперболического параболоида .

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1. Найти полную и среднюю кривизну поверхности .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № ___13____

Тема Контрольная работа.___________ ______

Продолжительность _2_ часа