МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Алтайская государственная педагогическая академия»

Кафедра

Геометрии и математических методов в экономике

Учебно-методический комплекс дисциплины (модуля)

Геометрия II / 4 (Дифференциальная геометрия)

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Специальность 050201.65 Математика (Информатика)

код наименование

Барнаул

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ

1.Показать, что кривая , заданная параметрически, совпадает с кривой , заданной явными уравнениями:

2.Пусть — пересечение цилиндрических поверхностей z и y . Написать параметрическое представление кривой , не одержащее радикалов.

3.Доказать, что кривая является регулярной и лежит на сферической поверхности с центром в точке Определить радиус сферической поверхности

4. Вычислить длину дуги кривой заключенной между точками M .

5.Кривая задана уравнением

Показать, что параметризация является естественной.

6.Найти длину дуги кривой между точками t=1 t=10

1.Задана кривая . Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в точке . Какая кривая получается в пересечении касательных с плоскостью ?

7.Составить уравнение соприкасающейся плоскости кривой

8.Написать уравнения главной нормали винтовой линии ( , ) и показать, что все главные нормали этой кривой лежат на поверхности

9.Найти единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали в произвольной точке кривой , 2xz=a 1.Найти кривизну и кручение кривой в произвольной точке.

10. Определить координаты точки, в которой кривая

имеет наибольшее кручение.

11.Составить натуральные уравнения кривой: 0<t< , a ).

12.Написать параметрические уравнения следующих поверхностей вращения второго порядка: параболоида вращения; кругового цилиндра;

13.Написать параметрические уравнения следующих поверхностей вращения второго порядка: . однополостного гиперболоида

14.Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке .

15.Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке к поверхности .

16.Дана поверхность . В ее точке написать уравнения касательной плоскости, нормали к поверхности и касательной к линии .

17.Показать, что касательная плоскость в произвольной точке поверхности отсекает на осях координат отрезки, сумма квадратов которых есть величина постоянная.

18.Дана поверхность

0 , 0 ).

Найти длину дуги кривой , a ), заключенной между точками и .

19.Дана поверхность

1). Найти первую квадратичную форму.

2). Вычислить дифференциал длины дуги для линий , v=1 v=au

3). Вычислить длину дуги линии v=au между точками ее пересечения с линиями u=1 u=2

20.Найти угол между кривыми v=u–3 и v=–2u на поверхности .

21.Дана поверхность Найти вторую квадратичную форму.

22.Найти нормальную кривизну в произвольной точке и в произвольном направлении поверхности . .

23. Составить дифференциальные уравнения линий кривизны прямого геликоида .

24. Вычислить главные кривизны поверхности в точке .

25.Вычислить главные кривизны поверхности в точке .

26. Найти полную и среднюю кривизну поверхности .