Касательная плоскость и нормаль поверхности

Внутренние уравнения кривой на поверхности.

Определение. Уравнения

называются внутренними уравнениями кривой .

Исключив из уравнений (3) параметр , получим внутреннее уравнение кривой в явном виде:

Определение. Множество точек поверхности, у которых одна из криволинейных координат или имеет одно и то же для всех точек постоянное значение, называется координатной линией.

Если поверхность регулярная, то координатные линии являются регулярными кривыми. Их внутренние уравнения имеют вид:

)

Касательная плоскость поверхности

Теорема 1. Касательные к регулярным кривым, проведенным на регулярной поверхности , заданной векторным уравнением (1), через данную на ней точку , лежат в плоскости, проходящей через эту точку и параллельной векторам и .

Определение. Касательной плоскостью к поверхности , заданной уравнением (1), в данной точке называется плоскость, проходящая через эту точку и параллельная векторам , ; точка называется точкой касания.

Уравнение касательной плоскости поверхности, заданной параметрическими уравнениями:

— уравнение касательной плоскости.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной неявным уравнением , в точке имеет вид

где — любая точка касательной плоскости.

Нормаль поверхности.

Определение. Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости в этой точке.

Если поверхность задана векторным уравнением , то уравнение нормали имеет вид:

Если поверхность задана неявным уравнением , то ее уравнение имеет вид:

где — любая точка нормали.

Лекция № _7_

Тема: ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ_

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Внутренние уравнения линии на поверхности.

2. Длина линии на поверхности.

3. Угол между линиями на поверхности.

4. Площадь поверхности.

Краткое содержание лекционного материала