Касательная к кривой. Нормальная плоскость

Определение. Касательной к кривой в ее данной точке называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку и точку кривой, неограниченно приближающейся к данной.

Уравнения касательной для различных способов задания кривой.

1. Кривая задана параметрическими уравнениями:

Составим канонические уравнения касательной к кривой , приняв за начальную точку — точку касания , а за направляющий вектор — вектор производной , взятой в точке . Они имеют вид

где — любая точка касательной.

2. Кривая задана явными уравнениями:

где (X, Y, Z) — любая точка касательной.

3. Кривая задана неявными уравнениями:

Уравнение касательной в точке будет иметь вид:

где – любая точка касательной.

Определение. Нормальной плоскостью кривой в точке называется плоскость, проходящая через точку и перпендикулярная касательной в этой точке.

В случае задания кривой параметрическими уравнениями уравнение нормальной плоскости имеет вид:

Если кривая задана явными уравнениями (4.3), то уравнение нормальной плоскости в точке с абсциссой запишется в виде:

где —любая точка плоскости.

И в случае, когда кривая задана неявными уравнениями (4.5) нормальная плоскость в точке кривой будет иметь уравнение

где —любая точка плоскости.