Гладкие поверхности. Различные уравнения поверхности.

Определение 1. Поверхность называется регулярной класса , если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию, т. е. задание параметрическими уравнениями

где функции являются регулярными функциями класса C ( раз непрерывно дифференцируемыми).

Теорема. Если ,y(u,v), z(u,v) –регулярные функции в области G, удовлетворяющиеусловию, что ранг матрицы

всюду в равен двум, то система равенств

задает некоторую поверхность . Эта поверхность есть образ простой поверхности при локально топологическом отображении, которое точке области ставит в соответствие точку пространства с координатами ,y(u,v) z(u,v)

Обозначения:

y z

y z

Геометрически условие, о котором говорится в теореме, означает, что векторы и не коллинеарны: (5)

(9) называется явным уравнением поверхности. .

Соблюдение в данной точке поверхности условия означает, что эта точка поверхности является обыкновенной и вблизи этой точки уравнение поверхности может быть записано в явном виде.

Чтобы обратно от явного уравнения поверхности перейти к параметрическим уравнениям, надо принять в качестве параметров переменные и , т. е. положить в уравнении (9): , . Тогда получим параметрические уравнения

Уравнение , где функция является регулярной класса , называется неявным уравнением поверхности.