Кручение кривой

Определение. Пусть кривая задана векторным уравнением , где — натуральный параметр. Абсолютным кручением, обозначаемым , кривой в точке называется , где — угол между единичными векторами и бинормалей соответственно в достаточно близких точках и .

Итак, по определению

Теорема 1. Регулярная кривая , (трижды непрерывно дифференцируемая), имеет в каждой своей точке абсолютное кручение , при этом

где через - обозначен множитель при , при этом, так как , то .

Определение. Кручением кривой называется абсолютное кручение , взятое со знаком "+", если вращение соприкасающейся плоскости происходит в направлении от к , и со знаком " ", если вращение происходит в направлении от к .

Теорема 2. Для того, чтобы кривая была плоской, необходимо и достаточно, чтобы ее кручение во всех точках было равно нулю.

Формулы для вычисления кручения кривой.

1. — естественная параметризация кривой .

2. — произвольная параметризация кривой .