Различные уравнения кривой

Определение. Простая кривая называется регулярной кривой класса (k раз дифференцируемой), если у каждой точки этой кривой есть окрестность, которую можно задать параметрическими уравнениями

)

где , , — раз непрерывно дифференцируемые функции.

Рассмотрим различные аналитические способы задания кривой.

Теорема 1. Если , и — раз непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию

то система равенств (1) является уравнениями некоторой кривой . Эта кривая есть образ отрезка при локально топологическом отображении, которое точке отрезка ставит в соответствие точку кривой.

Определение. Кривая, заданная уравнениями (1), называется кусочно-регулярной, если промежуток, на котором она определена, можно покрыть не более как счетным множеством промежутков, внутри каждого из которых уравнения (1) определяют регулярную линию (на концах промежутков требование регулярности может нарушаться).

Уравнения (5) называют явными уравнениями кривой.

Теорема 2. Пусть регулярная кривая в некоторой окрестности точки , соответствующей параметру , имеет уравнения (1), при этом . Тогда в достаточно малой окрестности точки кривая может быть задана уравнениями (5), где и — раз непрерывно дифференцируемые функции.

Неявное задание кривой уравнениями

Если в точке не равен 0 определитель ,то в окрестности систему уравнений (6) можно разрешить относительно и . Получим , .