Вектор-функция скалярного аргумента

Будем рассматривать трехмерное евклидово пространство.

Определение 1. Пусть — любое множество точек на прямой, в плоскости или в пространстве. Будем говорить, что на множестве задана вектор-функция , если каждой точке этого множества сопоставлен вектор .

Если множество является числовым промежутком, то будем иметь вектор-функцию скалярного аргумента, которая каждому вещественному значению ставит в соответствие вектор .

С каждой вектор-функцией связаны три скалярные функции , , — координаты вектора в ортонормированном базисе { }:

Для вектор-функций, так же, как и для скалярных функций вводятся понятия предела, непрерывности, производной, интеграла. Рассмотрим эти понятия.

Определение 2. Говорят, что при или вектор является пределом вектор-функции , если при .

Обозначение.

Для вектор-функций имеют место теоремы о пределе, аналогичные теоремам о пределе для скалярных функций.

Теорема 1. Если и — вектор-функции, а — скалярная функция и , и , то

Доказательство этой теоремы такое же, как доказательство соответствующих утверждений для скалярных функций в математическом анализе.

Имеет место следующее утверждение.

Для того, чтобы вектор-функция имела предел в точке необходимо и достаточно, чтобы скалярные функции , , имели предел в этой точке. При этом, если , , , то пределом вектор-функции в точке будет вектор .

Определение 3. Вектор-функция называется непрерывной в точке , если .

Теорема 2. Пусть и — вектор-функции, непрерывные в точке , а — скалярная функция, непрерывная в этой точке. Тогда вектор-функции , , , а также скалярная функция непрерывны в точке .

Это свойство непрерывности непосредственно следует из теоремы 1 о свойствах предела.

Определение 4. Пусть — вектор-функция, определенная на промежутке . Говорят, что вектор-функция дифференцируема в точке , если существует предел отношения при . Этот предел называется производной вектор-функция в данной точке и обозначается или .

Таким образом,

Теорема 3. Если и — вектор-функции, дифференцируемые в точке , а — дифференцируемая в этой точке скалярная функция, то вектор-функции , , , а также скалярная функция дифференцируемы в точке , причем

Эти формулы дифференцирования получаются так же, как соответствующие формулы дифференцирования скалярных функций в математическом анализе.

Определение 5. Вектор-функция , заданная на промежутке , называется дифференцируемой на промежутке , если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Производная данной функции является вектор-функцией на промежутке , поэтому можно говорить о дифференцируемости этой функции на промежутке .

Определение 6. Производная вектор-функции называется второй производной функции и обозначается .

Аналогично определяется третья, четвертая и т. д. производные.

Определение 7. Функция, имеющая непрерывные производные до -го порядка включительно на промежутке , называется раз дифференцируемой на этом промежутке.

Пусть — вектор-функция, определенная на промежутке и . Тогда, если скалярные функции , , непрерывны или дифференцируемы, то вектор-функция непрерывна, соответственно дифференцируема. Обратно, если вектор-функция непрерывна или дифференцируема, то функции , , непрерывны, соответственно дифференцируемы.

По аналогии со скалярной функцией вектор-функцию можно разложить по формуле Тейлора. Именно, если раз дифференцируемая функция, то

где при . (Без доказательства).

Понятие интеграла в смысле Римана для векторной функции вводится буквально так же, как для скалярной функции. Интеграл вектор-функции обладает обычными свойствами.

Теорема 4. Если непрерывная на отрезке вектор-функция и , то

Если — постоянная, то

Если — постоянный вектор, то

Имеет место формула дифференцирования неопределенного интеграла

Определение 8. Пусть на промежутке дана векторная функция и на промежутке — скалярная функция , причем ( ) . Тогда будем говорить, что области определений функций и согласованы, а векторную функцию — сложной векторной функцией от аргумента .

Теорема 5. Пусть даны функции и , области определения которых согласованы. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция также имеет производную в точке , причем она вычисляется по формуле:

Как следствие из этой теоремы получаем утверждение:

Пусть даны функции и , области определения и которых согласованы. Если функция раз непрерывно дифференцируема на промежутке , а функция раз непрерывно дифференцируема на промежутке , то сложная функция также раз непрерывно дифференцируема на промежутке .

Докажем два утверждения, назвав их леммами, которые будут в дальнейшем часто использоваться.

Лемма 1. Если вектор-функция имеет постоянную длину, то она перпендикулярна производной .

Верно обратное утверждение: если вектор-функция перпендикулярна производной , то она имеет постоянную длину.

Лемма 2. Если вектор-функция имеет постоянное направление, то она коллинеарна производной .

Имеет место обратное утверждение: если вектор-функция коллинеарна производной , то она имеет постоянное направление.