Отделимость. Компактность. Связность

1. Топологическое пространство называется отделимым (или хаусдорфовым), если у любых двух различных его точек существуют непересекающиеся окрестности.

Топологическое пространство (X, <&~) называется нормальным, если у любых двух непересекающихся замкнутых его подмно­жеств существуют непересекающиеся окрестности.

2. Покрытие (X_λ) топологического пространства называется открытым, если каждое X_λ открыто. Подпокрытие покрытия { X_λ } — это такое его подсемейство, которое само является покрытием.

Пространство (X, τ) называется компактным, если оно удовлетворяет следующей аксиоме Бореля — Лебега; каждое открытое покрытие содержит конечное подпокрытие

Множество А в топологическом пространстве называется компактным, если подпространство А компактно.

Топологическое пространство (X, τ) называется локально компактным, если у каждой его точки х существует такая окрестность U_x , что U_x есть компактное подпространство в X.

3. Говорят, что подмножества А и В топологического пространства (X, τ) отделены, если = и = Пространство (X, τ) называется связным, если оно не является объединением двух непустых отделенных подмножеств. Подмножество Г Х называется связным, если оно является связным подпространством в X.

Областью в топологическом пространстве называют всякое связное открытое множество.

Иногда принимают другое определение связности. Топологическое пространство (X, τ) называют связным, если не существует его разбиения на два открытых множества. Ясно, что оба эти определения связности равносильны.

Компонентой пространства X называют каждое его максимальное связное подмножество, т. е. такое связное подмножество Y, которое не содержится в другом связном подмножестве Z, отличном от Y.

Если пространство связно, то оно является единственной своей компонентой.

Можно доказать, что в топологическом пространстве (X, τ) каждое связное подмножество А содержится в некоторой компоненте пространства X

Замечание. Рассмотренные в этом параграфе понятия отделимости, компактности и связности были определены с помощью определенных требований, налагаемых на топологию пространства, т. е. на семейство τ всех его открытых множеств. Поэтому свойство пространства быть отделимым или компактным или, наконец, связным сохраняется при любых гомеоморфизмах.

Лекция № _2__

Тема:_ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ_____

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Определение топологического многообразия.

2. Двумерные многообразия. Понятие о клеточном разложении эйлерова характеристика двумерного многообразия.

3. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия. Классификация компактных двумерных многообразий (без доказательства).

4. Топологические свойства листа Мебиуса и проективной плоскости.

Краткое содержание лекционного материала