Топологические свойства проективной плоскости

Проективная плоскость Р₂ гомеоморфна пространству, полученному из сферы S Е₃ отождествлением ее диаметрально противоположных точек. Можно указать более простой пример многообразия, гомеоморфного плоскостиР₂.

1) Проективная плоскость РЛ является замкнутым двумерным многообразием.

2) Прямая d Р₂ не разделяет фигуру Р₂ \d на две чacтu.

Это свойство проективной плоскости существенно отличает ее от плоскости аффинной.

Если аффинную плоскость „разрезать" по прямой, то она распадется на две поверхности (полуплоскости).

Если же проективную плоскость разрезать по прямой, то такого распадения не произойдет, и мы получим одну поверхность, но с краем.

3). Проективная плоскость гомеоморфна многообразию – сфере с одной дырой, заклеенной листом Мёбиуса и, значит, неориентирована.