Определение топологического пространства

Пусть X — непустое множество и τ— некоторое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами. Говорят, что на множестве X определена топологическая структура (короче, топология), если семейство τ удовлетворяет аксиомам:

1. Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

2. Пересечение любых двух открытых множеств есть открытое множество.

3. Х - открытое множество.

4. Пустое множество открыто.

Пусть (X, τ) — топологическое пространство и A В X. Множество В называется окрестностью множества А, если

.

Теорема. Пусть (X, τ) — топологическое пространство и А X. Множество А является окрестностью каждой своей точки тогда и только тогда, когда оно открыто.

Пусть (X, τ) — топологическое пространство. Семейство открытых подмножеств из X называется базой топологии τ, если для каждой точки х из X и любой ее окрестности Вх выполняется следующее условие:

Теорема. Подмножество топологии является базой этой топологии тогда и только тогда, когда каждый элемент из является объединением элементов из .

Теорема. Семейство множеств является базой топологии на множестве тогда и только тогда, когда для лювых двух элементов B₁, B₂ ^ и любой точки существует элемент В₃ , такой, что .

Пусть (X, τ) — топологическое пространство и А X. Множество А называется замкнутым, если его дополнение СА открыто.

Теорема. А замкнуто .

Границей множества А называется множество b (А) всех его (граничных точек.

Теорема. Пусть (X, dT)—топологическое пространство А сХ. ТогдаА=А[]Ь(А).

Следствие 1. А =А\Ь (А) и b (A) = A\A

Следствие 2. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.