Определение топологического многообразия

Cистему координат в (как и систему декартовых координат в евклидовом пространстве Е_n) можно рассматривать как гомеоморфизм этого пространства на числовое пространство Rⁿ (наделенное естественной топологией).

Пусть (X, τ) — отделимое топологическое пространство. n-мерной координатной системой (или n-мерной картой) называется гомеоморфизм φ некоторого открытого подмножества U X на открытое подмножество числового пространства Rⁿ (или на все Rⁿ). При этом открытое множество U называют координатной окрестностью карты φ.

Если х , то φ{х) = (х¹, х², ..., х^п) Rⁿ. Эти n вещественных чисел хⁱ называются координатами точки х в данной картеφ. Иногда картой называют пару (U,φ), где U открыто в X, а φ— гомеоморфизм множества U на открытое множество из Rⁿ.

n-мерным топологическим многообразием (короче, п-мерным многообразием) называется связное отделимое топологическое пространство (X, τ) со счетной базой, если существует покрытие этого пространства координатными окрестностями n-мерных карт:

n-мерное многообразие будем обозначать через Х_n.

В топологии доказывают, что число n— размерность многообразия — является топологическим инвариантом.

Компактные многообразия называют также замкнутыми, а некомпактные — открытыми.

В геометрии и топологии приходится рассматривать также и многообразия с краем.

Обозначим через множество тех точек (х¹, х², ..., хⁿ) , у которых (это есть замкнутое полупространство в Rⁿ).

п-мерньщ многообразием с краем называется связное отделимое топологическое пространство (X, τ) со счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную или . Краем многообразия X называется множество всех тех точек из X, которые, имеют окрестность, гомеоморфную , но не имеют окрестности, гомеоморфной Rⁿ. Если же точка х X не является точкой края (и, следовательно, имеет окрестность, гомеоморфную ), то она называется внутренней точкой многообразия X

Можно доказать, что:

1) одномерное замкнутое многообразие гомеоморфно окружности;

2) одномерное открытое многообразие гомеоморфно прямой;

3) одномерное многообразие с краем гомеоморфно либо отрезку, либо лучу.