Непрерывность и гомеоморфизм

1.Пусть (X,τ) и (X', τ') — топологические пространства. Отображение

f: X X'

называется непрерывным в точке х X, если для любой окрестности V точки f(x) в X' существует окрестность U точки х Х, такая, что f(U) U.

Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке из X.

Отображение f^:Х Х' непрерывно в точке х Х, если прообраз (U’) всякой окрестности точки f(x) в X' является окрестностью точки х в X.

Теорема. Пусть (X,τ) и (X', τ') —топологические про­странства. Отображение f:X X' непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества из X' есть открытое множество в X.

Отображение f:.X X' называется гомеоморфизмом (или топологическим отображением), если оно удовлетворяет следующим двум условиям:

а) f — биекция (и, значит, существует обратное отображение /_1);

б) отображения f и f^-1 непрерывны.

В этом случае пространства X и Xе называются гомеоморфными, пишут Х Х'.

Поэтому о двух гомеоморфных пространствах говорят, что они топологически эквивалентны (принадлежат одному классу эквивалентности) или что они принадлежат одному и тому же топологическому типу.

Всякое свойство пространства, инвариантное относительно гомеоорфизмов, называется топологическим свойством (или топологическим инвариантом). Можно сказать также, что токологическим является такое свойство пространства X, которым обладает любое пространство того же топологического типа, что и пространство X. Именно такие свойства и изучаются в топологии — большом и важном разделе современной математики.