Сопровождающий трехгранник кривой. Базис Френе

Определение. Нормалью кривой называется каждая прямая, проходящая через точку кривой перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Определение. Главной нормалью называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости.

Определение. Бинормалью называется нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.

С каждой точкой кривой можно естественным образом связать прямоугольную декартову систему координат, начало координат которой находится в точке , а оси совпадают с касательной, главной нормалью и с бинормалью в точке . Роль координатных плоскостей играют три плоскости, образованные попарно этими прямыми.

Соприкасающаяся плоскость проходит через касательную и главную нормаль и перпендикулярна бинормали.

Определение. Нормальной плоскостью называется плоскость, проходящая через главную нормаль и бинормаль.

Нормальная плоскость перпендикулярна касательной.

Определение. Спрямляющей плоскостью называется плоскость, проходящая через касательную и бинормаль.

Спрямляющая плоскость перпендикулярна главной нормали.

Определение. Множество, состоящее из трех прямых: касательной, главной нормали и бинормали и трех плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляющей, называется сопровождающим трехгранником кривой в точке M (или трехгранником Френе).

Кривая задана векторным уравнением ( ):

- направляющий вектор касательной и нормальный вектор нормальной плоскости;

- направляющий вектор бинормали и нормальный вектор соприкасающейся плоскости;

- направляющий вектор главной нормали и нормальный вектор спрямляющей плоскости;.

Определение. Базис, состоящий из трех единичных векторов касательной, главной нормали и бинормали, выходящих из одной и той же точки кривой, называется базисом Френе в этой точке кривой.

Обозначение:

— единичный вектор касательной;

— единичный вектор главной нормали;

— единичный вектор бинормали.

Базис Френе { } является ортонормированным:

)

Если кривая задана векторным уравнением , то

Если же кривая задана векторным уравнением , где — натуральный параметр, то

Условимся считать, что всегда .

Лекция № _5_.

Тема: ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ _____________

(продолжение)

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Кривизна и кручение кривой.

2. Формулы Френе.

3. Понятие о натуральных уравнениях кривой.

Краткое содержание лекционного материала