Нормальная кривизна поверхности

Регулярная поверхность задана параметрическим уравнением .

Определение. Нормальной кривизной в данной точке и в данном направлении называется отношение второй квадратичной формы к первой квадратичной форме, т. е.

Здесь коэффициенты квадратичных форм берутся в данной точке .

Теорема 1. Нормальная кривизна кривой в точке поверхности в направлении равна с точностью до знака кривизне нормального сечения, проведенного в той же точке и в том же направлении .

Теорема 2 (Менье). Нормальная кривизна поверхности в данной точке и в данном направлении равна кривизне произвольной кривой, проходящей через эту точку и имеющей в ней данное направление, умноженной на косинус угла между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности, т. е.

Следствие 1. Все кривые на поверхности, имеющие в данной точке общую касательную (общее направление) и общую соприкасающуюся плоскость (главную нормаль), имеют в этой точке и общую кривизну.

Определение. Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны.

Следствие 2 (другая формулировка теоремы Менье).

где ,