Движение в поле тяжести. Криволинейное движение

(A)

1.3.1 Три тела брошены так: первое - вниз без начальной скорости, второе - вниз с начальной скоростью, третье вверх. Что можно сказать об ускорениях этих тел? Сопротивление воздуха не учитывать.

1.3.2 Турист, стоя на краю глубокого ущелья, бросает вниз камень. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько секунд камень достигнет дна. Глубина ущелья 1500 м.

1.3.3 Мальчик подбрасывает мяч на высоту 20 м и ловит его, когда он падает вниз. Сколько времени мяч находится в полете?

1.3.4 Мяч бросают вверх с начальной скоростью 15 м/c . Сколь высоко взлетит мяч? Сколько времени мяч пробудет в воздухе, прежде чем возвратится обратно к бросившему его человеку?

1.3.5 Свободно падающее тело пролетело точку A со скоростью v_A. С какой скоростью оно пролетит мимо точки B, находящейся ниже A на расстоянии h?

1.3.6 Из орудия произведён выстрел под углом f к горизонту. Начальная скорость снаряда v. Поверхность земли горизонтальна. а) Найдите горизонтальную и вертикальную проекции скорости как функции времени. б) Найдите координаты x и y как функции времени. в) Найдите уравнение траектории, т. е. зависимость Y от Х. г) Найдите время полета T, наибольшую высоту H и дальность полета L снаряда.

1.3.7 Камень бросают в горизонтальном направлении со скалы высотой 115 м. Он падает на землю на расстоянии 92,5 м от ее подножия. С какой скоростью был брошен камень?

1.3.8 С одного и того же места с интервалом времени t брошены два тела с одной и той же начальной скоростью v под углом f к горизонту. Как движется первое тело относительно второго? Почему относительная скорость зависит только от t.

1.3.9 С какой скоростью должен лететь спутник, чтобы, все время, падая на Землю с ускорением g, он двигался по окружности? Принять радиус Земли R = 6400 км, а g = 10 м/с².

1.3.10 Пружинный пистолет установлен на горизонтальной поверхности так, что его ствол направлен под углом a к горизонту. При каком значении угла a дальность полета пули при выстреле будет максимальной? Найти максимальную дальность полета пули при скорости вылета v₀ = 7 м/с.

1.3.11 Вычислите дальность полета снаряда R, которая определяется как расстояние, пролетаемое снарядом по горизонтали до возвращения на исходную высоту Y = 0. Под каким углом нужно нацелить пушку, имеющую начальную скорость ядра v₀ = 60 м/c, чтобы поразить мишень на расстоянии 320 м? Сопротивление воздуха не учитывать.

(B)

1.3.12 Вертикально вверх с интервалом t выброшены два шарика со скоростью v из одной и той же точки. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся?

1.3.13 а) Из верхней точки окружности по жёлобу, наклоненному под углом f к вертикали, начинает скользить без трения шарик. За какое время он достигнет окружности, если её диаметр D?

б) Из точки A по различно наклоненным спицам одновременно начинают скользить без трения маленькие бусинки. На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени t? (Рис. 12)

Рис.12

1.3.14 По наклонной плоскости со скоростью V пускают шарик. Какое расстояние по горизонтали он пройдет, прежде чем скатится с плоскости? Плоскость наклонена к горизонту под углом 45⁰. Вектор скорости образует угол 45⁰ с горизонтальным краем плоскости. Трения нет. (Рис. 13)

1.3.15 Из шланга, лежащего на земле, бьёт под углом 45⁰ к горизонту вода с начальной скоростью 10 м/с. Площадь сечения отверстия шланга 5 см². Определите массу струи, находящейся в воздухе.

1.3.16 Определите скорость и ускорение точек земной поверхности на экваторе и в Санкт-Петербурге из-за в суточного вращении Земли. Радиус Земли принять равным 6400 км. Широта Санкт-Петербурга 60⁰.

1.3.17 Тело движется по окружности радиуса r со скоростью, которая линейно увеличивается во времени: v = kt. Найдите зависимость от времени модуля полного ускорения тела.

1.3.18 Снаряд вылетает с начальной скоростью 600 м/с под углом 30⁰, 45⁰, 60⁰ к горизонту. Определите радиусы кривизны траекторий снаряда в наивысшей и начальной точках.

( С )

1.3.19 Как должен быть направлен из точки A наклонный жёлоб, чтобы шарик соскользнул по нему до наклонной плоскости BB’ за наименьшее время? (Рис. 14)

Рис.14

Рис.15

1.3.20 Из миномёта ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномёта будут падать мины, если их начальная скорость v, угол наклона горы a и угол стрельбы b по отношению к горизонту. (Рис. 15)

1.3.21 Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u. В неё бросил камень неопытный “охотник”, причём бросок был сделан без упреждения, т. е. в момент броска направление скорости камня (угол a к горизонту) было как раз на утку. Модуль начальной скорости камня равен v. На какой высоте летела утка, если камень всё же попал в неё. (Рис. 16)

Рис.16 Рис.17

1.3.22 Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под углом a и b к горизонту с одинаковой начальной скоростью v. На каком расстоянии по горизонтали струи пересекутся?

1.3.23 В момент времени, когда модуль скорости v = 10⁶ м/с, ускорение частицы a = 10⁴ м/с² и направлено под углом 30⁰ к вектору скорости. На сколько увеличится модуль скорости за время Dt = 10^-2 с? На какой угол изменится направление скорости? Какова в этот момент угловая скорость вращения вектора скорости?

1.3.24 Край горизонтального стола скруглён по полуокружности радиуса r. С какой наименьшей скоростью нужно пустить по столу малое тело, чтобы оно, достигнув скругления, сразу полетело по параболе? (Рис. 17)

1.4. Преобразование Галилея

(А)

1.4.1 По реке плывет весельная лодка, а рядом с ней плот. Что легче для гребца: перегнать плот на 10 м или же на 10 м отстать от него?

1.4.2 Проплывая на лодке под мостом А, рассеянный человек уронил в реку шляпу, но, не заметив этого, продолжал грести против течения. Через 15 минут, обнаружив пропажу, он развернул лодку и, гребя в том же темпе, догнал шляпу под мостом В, удаленном от моста А на 1 км. Какова скорость течения реки?

1.4.3 Два катера идут по реке в одну сторону с различными скоростями. В тот момент, когда они поравнялись, с каждого был брошен в воду спасательный круг. Спустя четверть часа катера повернули обратно и с прежними скоростями направились к брошенным в воду кругам. Который из них дойдет до круга раньше: движущийся с большей или меньшей скоростью.

1.4.4 Самолет, скорость которого относительно воздуха равна 200 км/ч, летит на север. Внезапно начинает дуть северо-восточный ветер со скоростью 100 км/ч относительно земли. Какова будет результирующая скорость самолета относительно земли?

1.4.5 Пролетая над пунктом А, пилот вертолета догнал воздушный шар, который сносило ветром по курсу вертолета. Через полчаса пилот повернул назад и встретил воздушный шар на расстоянии 30 км от пункта А. Какова скорость ветра, если двигатель вертолета работал, не меняя мощности?

1.4.6 Можно ли применять паруса и руль для управления полетом воздушного шара?

1.4.7 Будет ли слушаться руля легкая лодка, свободно несущаяся по течению реки?

1.4.8 По гладкому горизонтальному столу со скоростью v₁ движется лист закопченного стекла. Какой формы след оставит на стекле шарик, брошенный по поверхности листа со скоростью v₂ перпендикулярно направлению движения листа?

1.4.9 Доказать, что при свободном движении тел вблизи поверхности Земли их относительная скорость постоянна.

(B)

1.4.10 Капли дождя из-за сопротивления воздуха падают с постоянной скоростью v, перпендикулярной поверхности земли. Как необходимо расположить цилиндрическое ведро, находящееся на движущейся горизонтально со скоростью u платформе, чтобы капли не попадали на стенки?

1.4.11 Начальные положения и векторы скоростей двух кораблей заданы на рисунке. Корабли движутся без ускорения. Как найти наименьшее расстояние между ними? (Рис. 18)

1.4.12 Одна из частиц пылевого облака (частица A) покоится, а все остальные разлетаются от нее в разные стороны со скоростями, пропорциональными расстояниям от частицы A. Какую картину движения обнаружит наблюдатель, движущийся вместе с частицей B?

1.4.13 С угла A квадратного плота спрыгнул пёс и плывёт вокруг плота в направлении, указанном короткой стрелкой. Нарисуйте траекторию движения пса относительно берега, если скорость пса относительно воды составляет 4/3 скорости течения. (Рис. 19)

Рис.18 Рис.20

Рис.19

1.4.14 Буер представляет собой парусные сани. Он может двигаться лишь по линии, по которой направлены коньки. Ветер дует со скоростью v, перпендикулярной его движению. Парус же составляет угол 30⁰ с направлением движения. Определите максимально возможную скорость буера.

1.4.15 При упругом ударе тела о неподвижную стенку скорость v меняется лишь по направлению. Определите, на какую величину изменится после удара скорость этого тела, если стенка движется: а) со скоростью u навстречу телу; б) со скоростью w < v в направлении движения тела.

1.4.16 Тело налетает на стенку со скоростью v под углом a к ее нормали. Определите модуль скорости тела после упругого удара о стенку, если: а) стенка неподвижна; б) движется со скоростью w по своей нормали навстречу телу; в) движется со скоростью w под углом b к своей нормали навстречу телу.

(С)

1.4.17 Какой будет длительность рейса самолёта из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всего полёта дует ветер под углом a к трассе со скоростью u? Скорость самолёта относительно воздуха v, длина трассы L. При каком направлении ветра длительность рейса максимальна?

1.4.18 Внутри сферы радиуса R, движущейся со скоростью u, находится шарик радиуса r, который в момент, когда он проходил через центр сферы, имел скорость v (u перпендикулярна v). Масса сферы много больше массы шарика. Определите, с какой частотой шарик ударяется о стенку сферы, если считать удар абсолютно упругим.

1.4.19 Тело влетает горизонтально со скоростью v в пространство между двумя вертикальными плоскостями, которые движутся со скоростью u. Определите скорость тела после n-го удара о переднюю стенку. Расстояние между стенками L. Удары абсолютно упругие. (Рис. 20)

1.4.20 Ядро, летящее со скоростью v, распадается на два одинаковых осколка. Определите максимально возможный угол a между вектором скорости одного из осколков и вектором скорости v, если при распаде покоящегося ядра осколки имеют скорость u < v.

1.4.21 Идёт “вертикальный” дождь. Скорость капель u. По асфальту со скоростью v скользит мяч. Во сколько раз на него попадает больше капель за секунду, чем на такой же неподвижный мяч? Изменится ли ответ, если мяч не круглый?

1.4.22 Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки, хочет её переплыть так, чтобы его снесло вниз по течению как можно меньше. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесёт, если ширина реки 200 м?