Метод производящих функций

Основная идея этого метода состоит в сопоставлении каждой числовой последовательности функции действительного (или комплексного) переменного, причем отношения между последовательностями отражаются в отношениях между функциями. К самим функциям применимы аналитические методы исследования, которые иногда оказываются более простыми и удобными, чем непосредственное оперирование с числовыми последовательностями.

Производящая функция последовательности рассматривается в полиномиальном (классическом) виде:

2 Анализ систем связи, применение моделей Эрланга и ЭнгсетаРассмотрим узел коммутации каналов. На практике это может быть транзитная АТС, которая коммутирует соединительные линии разных направлений, оконечная АТС, входные линии которой являются как соединительными, так и абонентскими. Это может быть также учрежденческая АТС или выносной концентратор городской станции.

Будем полагать, что коммутатор имеет M входящих и m исходящих линий.

Опишем поток заявок следующими параметрами. Пусть каждый абонент в среднем делает 1 звонок каждые 30 минут, занимая линию в среднем на 3 минуты.

Пусть общее число абонентов М=120. Основной задачей при проектировании является определение числа исходящих линий, достаточного, для обеспечения заданного уровня качества обслуживания. Важнейшей характеристикой качества является вероятность блокировки по времени.

Одним из подходов к анализу является применение модели Эрланга .

Будем рассматривать все вызовы, поступающие от абонентов как общий Пуассоновский поток с параметром: вызовов в минуту.

Найдем нагрузку: Эрлангов

Воспользуясь В-формулой Эрланга, можно найти следующие значения вероятностей блокировки при различном числе выходных линий:

При умеренных нагрузках (5<ρ<50), можно использовать приближенные формулы:

Другим подходом является использование модели Энгсета. При этом вероятность блокировки по времени можно рассчитать как значение: .

Как можно видеть из таблиц, приведенных выше, применение моделей Эрланга и Энгсета несущественно при рассмотрении небольшой удельной нагрузке на сервер, расхождения заметны лишь для больших удельных потенциальных нагрузках. Обычно на практике рассматриваются пучки исходящих каналов и вызовы на каждый из пучков считают Пуассоновскими потоками. К каждому пучку применимо распределение Эрланга. Вероятности состояния каждого из исходящих пучков более приемлемо при этом описывать распределением Энгсета.

3. Задача. К компьютерной системе поступают три типа задач:

А) диалоговые задачи

Б) испытательные задачи

В) производительные задачи

Все задачи прибывают согласно Пауссонвскому процессу, и времена обслуживания являются постоянными.

Интенсивность поступления задач следующая:

А) 14 задач прибывают в минуту, и время обслуживания – 7 с

Б) 7 задачи прибывают в минуту, и время обслуживания -4 с

В) 10 задач прибывают в час, и время обслуживания – минуты.

Найдите предложенную нагрузку для каждого типа и полную предложенную нагрузку.

Решение:

А) 14*7/60 = 1,633

Б) 7*4/60 = 0,467

В) 10*60/3600 = 0,167

1,633+0,467+0,167=2,267 – полная предложенная нагрузка