Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Аналитические решения заданного уравнения




Читайте также:
  1. IX. Продолжайте принимать решения
  2. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.
  3. Анализ внешней среды и ее влияние на разработку управленческого решения. Свойства внешней среды.
  4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ
  5. Аналитические жанры
  6. Аналитические жанры
  7. Аналитические замечания о несомненности
  8. АНАЛИТИЧЕСКИЕ НЕЯСНОСТИ
  9. Аналитические расчеты совместимы с таблицей исходных данных.

Дано

у'' – 3у' + 2у =х, у(0) = у'(0) = 1. (***)

 

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение уон этого уравнения, которое равно сумме какого-либо частного решения учн неоднородного уравнения и общего решения у соответствующего однородного уравнения

 

уон = у + учн.

 

Запишем соответствующее однородное уравнение

 

у'' – 3у' + 2у = 0,

 

его характеристическое уравнение k2 – 3k + 2 = 0 имеет корни k1 = 2, k2 = 1. Поэтому

у = с1е2х + с2е2х.

 

Для определения частного решения неоднородного уравнения (***) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как правая часть уравнения (***) является многочленом первой степени и число ά + βi = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид:

учн =Ах +В.

Чтобы определить значения коэффициентов А и В, находим производные

 

учн = А, учн = 0,

 

подставляем учн, учн, учн в уравнение (19)

 

-3А +2Ах + 2В = х

 

и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему

из которой находим . Следовательно, и

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, для чего продифференцируем общее решение и подставим начальные условия в общее решение и его производную, в результате получим систему

решая которую, найдем .Таким образом, получили аналитическое решение заданного уравнения, удовлетворяющего данным начальным условиям

3. Сравним значения точного и приближенного решений заданного уравнения в точках х1, х2, х3. Это сравнение дано в табл.12.

Таблица 12

i yi по методу Рунге-Кутта у(хi) – точное решение - абсолютная погрешность
1,0000000 1,000000  
1,105349 1,105351 2∙10-6
1,222951 1,222955 4∙10-6
1,3555196 1,3555301 1∙10-5

 


Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 6; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.021 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты