Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта

С помощью подстановки у' = z, у'' = z' заменим исходное дифференциальное уравнение системой уравнений:

(**)

с начальными условиями у(0) = 1, z(0) = 1. Таким образом,

f₁(x, y, z)= z,

f₂(x, y, z)= 3z –2y + x .

Шагом интегрирования h = 0,1 разобьем отрезок [0;0,3] на три равных части точками х₀= 0, х₁= 0,1, х₂ = 0,2, х₃ = 0,3. Для вычисления приближенных значений у₁, у₂, у₃ и z₁, z₂, z₃ решения системы (**) воспользуемся формулами (10.17). Результаты вычислений помещены в табл.11. Заполнение таблицы ведется в следующем порядке.

При i = 0:

1. Записываем в первой строке х₀ = 0, у₀ = 1, z₀ = 1.

2. Вычисляем f₁(x₀, y₀, z₀)= z₀ = 1, f₂(x₀, y₀, z₀) = 3z₀ –2y₀ + x₀ = 1,

тогда К₁⁽⁰⁾ = 0,1∙1 = 0,1; l₁⁽⁰⁾ = 0,1∙1 = 0,1.

3. Записываем во второй строке

, , .

4. Вычисляем

тогда .

5. Записываем в третьей строке

, , .

6. Вычисляем

,

тогда .

7. Записываем в четвертой строке

, ,

8. Вычисляем

тогда .

9. В столбцы и записываем числа K₁⁽⁰⁾, 2K₂⁽⁰⁾, 2K₃⁽⁰⁾, K₄⁽⁰⁾ и соответственно.

10. Вычислим

11. Получаем

Значения заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.17). В результате этих вычислений получаем следующую таблицу приближенных значений решения системы (**).

Таблица 11