Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Кривые на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.




Читайте также:
  1. А вообще, по вашему мнению, как награждали? Скупо или нормально?
  2. Возвращение к почти нормальной жизни
  3. Вопрос № 2. Приведение пистолета к нормальному бою.
  4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.
  5. Вы измеряете АД пациенту с почечной артериальной гипертензией. Назовите нормальный уровень систолического артериального давления у здорового взрослого человека в покое.
  6. Вывод уравнений прочности нормального сечения таврового элемента
  7. Геодезические линии на поверхности.
  8. Главная нормаль. Бинормаль.
  9. ГОРОД: НОРМАЛЬНЫЙ. НАСЕЛЕНИЕ: 1.
  10. для формирования нормального фенотипа

Пусть Fэлементарная поверхность, а r:U –®F – её параметризация. Пусть d: I –®U – путь на области U, b – кривая которую он задает. Тогда с=rod:I–®Fесть путь на поверхности F, который задает кривую g = r(b) Ì F.

Пусть кривая b задается параметрическими уравнениями

u = u(t),

v = v(t),

а поверхность F – уравнениями (1). Тогда кривая g в пространстве имеет уравнения

x = x(u(t), v(t)),

y = y(u(t), v(t)), (4)

z = z(u(t), v(t)).

Относительно внутренних координат на поверхности F кривая g задается теми же самыми уравнениями, что и b на области U, т.е. (3). Поэтому именно (3) называются уравнениями кривой g на поверхности F.

Пусть M(xo, yo, zo) – произвольная точка на кривой g, M = c(to), P(uo, vo) = d(to) Î b. Тогда M = r(P). Найдем касательный вектор к g в точке M:

c¢(to) = r¢(u(to), v(to)) = u¢(toru(uo, vo)+ v¢(torv(uo, vo). (5)

Поскольку поверхность r предполагается регулярной, то векторы ru(uo, vo) и rv(uo, vo) не коллинеарны. Они однозначно определяют плоскость p, проходящую через точку M. Тогда (5) означает, что касательный вектор к кривой g в точке M раскладывается через векторы ru(uo, vo) и rv(uo, vo), т.е. он параллелен p. Кривая g была произвольной. Поэтому мы можем сделать следующий вывод.

Теорема 1. Пусть F – элементарная поверхность, а r : U –®F – её регулярная параметризация. Пусть MÎ F, и (uo, vo) – внутренние координаты точки M. Тогда касательные векторы ко всем кривым на поверхности F, проходящим через точку M, лежат в одной плоскости, параллельной векторам ru(uo, vo) и rv(uo, vo). Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности F в точке M.

Возможен другой подход к определению касательной плоскости.

Определение. ПустьFэлементарная поверхность, M – точка на ней, а p – плоскость, проходящая через M. Выберем близкую к M точку N на F и обозначим d = | MN |, а d – расстояние от N до p. Если

= 0 ,

то плоскость p называется касательной плоскостью к поверхности F в точке M.

Предполагается, что данный предел существует и равен нулю независимо от того, по какому пути точка N приближается к M. Более строго, это означает следующее: "e>0 $ окрестность V точки M в F, такая что d/d < e " N Î V.



Исходя из этого определения, можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Гладкая регулярная элементарная поверхность F имеет в каждой своей точке касательную плоскость, и, притом, единственную. Если r : U –®F – регулярная параметризация поверхности F и M = r(uo, vo), то касательная плоскость к F в точке M параллельна векторам ru(uo, vo) и rv(uo, vo).

(Доказательство см., например, в (1)).

Поскольку для регулярной поверхности ru rvдля любых u и v из области определения, то векторы ru и rv образуют базис в касательной плоскости к поверхности F в каждой точке этой поверхности. Пусть кривая g задается относительно внутренних координат уравнениями (3). Тогда (5) показывает, что касательный вектор к g в каждой точке этой кривой имеет в базисе {ru, rv} координаты (u¢, v¢).

Таким координаты вектора c¢(t) совпадают с координатами вектора d¢(t) , касательного к кривой b = r–1(g ) для каждого t Î I .

Координатные линии можно задать уравнениями

u = t, u = uo,

v = vo, v = t.

Значит, касательные векторы к ним имеют координаты (1, 0) и (0, 1), т.е. это векторы ruи rv. Итак мы установили, что касательная плоскость к поверхности параллельна векторам ru(xu, yu, zu), rv(xv, yv, zv). Поэтому её уравнение точке M(xo, yo, zo) = r(uo, vo) имеет вид



= 0. (6)

При этом все производные вычисляются в точке (uo, vo).

Пусть поверхность Fзадана уравнением в явном виде: z = f(x, y). Перепишем его в параметрическом виде:

x = u,

y = v,

z = f(u, v).

Пусть M(xo, yo, zo) Î F. Применим формулу (6), учитывая, что fu= fx, fv= fy:

= 0 .

Раскрывая определитель, получаем уравнение касательной плоскости к F в точке M:

z - zo= fx(xo, yo)·(x - xo) + fy(xo, yo)·(y - yo). (7)

Определение. Прямая, проходящая через точку MÎ F, перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в данной точке называется нормалью к поверхности F в точке M.

По определению нормаль перпендикулярна векторамruи rv, а значит, она параллельна векторуru´ rv. Поэтому её уравнение:

= = ,

yvzv zvxv xvyv

Единичный направляющий вектор нормали к поверхности принято обозначать . Тогда, очевидно, = .

Пусть теперь поверхность Fзадана уравнением в неявном виде: F(x, y, z) = 0. Пусть = r(u, v) – это её же параметрическое уравнение, r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Тогда для всех (u, v) из области определения параметризации должно выполняться F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) º 0. Дифференцируя это тождество по u и по v, получаем

Fxxu+ Fyyu+ Fzzu= 0,

Fxxu+ Fyyu+ Fzzu= 0.

Если ввести обозначение grad F = , то эти тождества можно переписать в векторном виде:

(grad F) ·ruº 0,

(grad F) · rvº 0.

Они означают, что в каждой точке на поверхности вектор градиента является направляющим вектором нормали. Поэтому уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности имеют соответственно вид



(x xo) + (y yo) + (z zo) = 0,

= = ,

а единичный вектор нормали: = .

Замечание. Если в пространстве вместо СК Oxyz ввести новую декартову СК O¢x¢y¢z¢, то та же самая элементарная поверхность F будет задаваться той же самой параметризацией r : U –®F ; изменится только координатная запись этой вектор-функции. Векторы ru и rv будут иметь другие координаты, но тем не менее, это будут те же векторы. Значит, и величина | ru´ rv| не зависит от выбора декартовой СК в пространстве.

В дальнейшем векторы, лежащие в касательной плоскости к поверхности будем обозначать греческими буквами.


Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 28; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.018 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты