Кривые на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть F – элементарная поверхность, а r:U –®F – её параметризация. Пусть d: I –®U – путь на области U, b – кривая которую он задает. Тогда с=rod:I–®Fесть путь на поверхности F, который задает кривую g = r(b) Ì F.

Пусть кривая b задается параметрическими уравнениями

u = u(t),

v = v(t),

а поверхность F – уравнениями (1). Тогда кривая g в пространстве имеет уравнения

x = x(u(t), v(t)),

y = y(u(t), v(t)), (4)

z = z(u(t), v(t)).

Относительно внутренних координат на поверхности F кривая g задается теми же самыми уравнениями, что и b на области U, т.е. (3). Поэтому именно (3) называются уравнениями кривой g на поверхности F.

Пусть M(x_o, y_o, z_o) – произвольная точка на кривой g, M = c(t_o), P(u_o, v_o) = d(t_o) Î b. Тогда M = r(P). Найдем касательный вектор к g в точке M:

c¢(t_o) = r¢(u(t_o), v(t_o)) = u¢(t_o)·r_u(u_o, v_o)+ v¢(t_o)·r_v(u_o, v_o). (5)

Поскольку поверхность r предполагается регулярной, то векторы r_u(u_o, v_o) и r_v(u_o, v_o) не коллинеарны. Они однозначно определяют плоскость p, проходящую через точку M. Тогда (5) означает, что касательный вектор к кривой g в точке M раскладывается через векторы r_u(u_o, v_o) и r_v(u_o, v_o), т.е. он параллелен p. Кривая g была произвольной. Поэтому мы можем сделать следующий вывод.

Теорема 1. Пусть F – элементарная поверхность, а r : U –®F – её регулярная параметризация. Пусть MÎ F, и (u_o, v_o) – внутренние координаты точки M. Тогда касательные векторы ко всем кривым на поверхности F, проходящим через точку M, лежат в одной плоскости, параллельной векторам r_u(u_o, v_o) и r_v(u_o, v_o). Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности F в точке M.

Возможен другой подход к определению касательной плоскости.

Определение. ПустьF – элементарная поверхность, M – точка на ней, а p – плоскость, проходящая через M. Выберем близкую к M точку N на F и обозначим d = | MN |, а d – расстояние от N до p. Если

= 0 ,

то плоскость p называется касательной плоскостью к поверхности F в точке M.

Предполагается, что данный предел существует и равен нулю независимо от того, по какому пути точка N приближается к M. Более строго, это означает следующее: "e>0 $ окрестность V точки M в F, такая что d/d < e " N Î V.

Исходя из этого определения, можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Гладкая регулярная элементарная поверхность F имеет в каждой своей точке касательную плоскость, и, притом, единственную. Если r : U –®F – регулярная параметризация поверхности F и M = r(u_o, v_o), то касательная плоскость к F в точке M параллельна векторам r_u(u_o, v_o) и r_v(u_o, v_o).

(Доказательство см., например, в (1)).

Поскольку для регулярной поверхности r_u r_vдля любых u и v из области определения, то векторы r_u и r_v образуют базис в касательной плоскости к поверхности F в каждой точке этой поверхности. Пусть кривая g задается относительно внутренних координат уравнениями (3). Тогда (5) показывает, что касательный вектор к g в каждой точке этой кривой имеет в базисе {r_u, r_v} координаты (u¢, v¢).

Таким координаты вектора c¢(t) совпадают с координатами вектора d¢(t) , касательного к кривой b = r^–1(g ) для каждого t Î I .

Координатные линии можно задать уравнениями

u = t, u = u_o,

v = v_o, v = t.

Значит, касательные векторы к ним имеют координаты (1, 0) и (0, 1), т.е. это векторы r_uи r_v. Итак мы установили, что касательная плоскость к поверхности параллельна векторам r_u(x_u, y_u, z_u), r_v(x_v, y_v, z_v). Поэтому её уравнение точке M(x_o, y_o, z_o) = r(u_o, v_o) имеет вид

= 0. (6)

При этом все производные вычисляются в точке (u_o, v_o).

Пусть поверхность Fзадана уравнением в явном виде: z = f(x, y). Перепишем его в параметрическом виде:

x = u,

y = v,

z = f(u, v).

Пусть M(x_o, y_o, z_o) Î F. Применим формулу (6), учитывая, что f_u= f_x, f_v= f_y:

= 0 .

Раскрывая определитель, получаем уравнение касательной плоскости к F в точке M:

z - z_o= f_x(x_o, y_o)·(x - x_o) + f_y(x_o, y_o)·(y - y_o). (7)

Определение. Прямая, проходящая через точку MÎ F, перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в данной точке называется нормалью к поверхности F в точке M.

По определению нормаль перпендикулярна векторамr_uи r_v, а значит, она параллельна векторуr_u´ r_v. Поэтому её уравнение:

= = ,

y_vz_v z_vx_v x_vy_v

Единичный направляющий вектор нормали к поверхности принято обозначать . Тогда, очевидно, = .

Пусть теперь поверхность Fзадана уравнением в неявном виде: F(x, y, z) = 0. Пусть = r(u, v) – это её же параметрическое уравнение, r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Тогда для всех (u, v) из области определения параметризации должно выполняться F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) º 0. Дифференцируя это тождество по u и по v, получаем

F_xx_u+ F_yy_u+ F_zz_u= 0,

F_xx_u+ F_yy_u+ F_zz_u= 0.

Если ввести обозначение grad F = , то эти тождества можно переписать в векторном виде:

(grad F) ·r_uº 0,

(grad F) · r_vº 0.

Они означают, что в каждой точке на поверхности вектор градиента является направляющим вектором нормали. Поэтому уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности имеют соответственно вид

(x – x_o) + (y – y_o) + (z – z_o) = 0,

= = ,

а единичный вектор нормали: = .

Замечание. Если в пространстве вместо СК Oxyz ввести новую декартову СК O¢x¢y¢z¢, то та же самая элементарная поверхность F будет задаваться той же самой параметризацией r : U –®F ; изменится только координатная запись этой вектор-функции. Векторы r_u и r_v будут иметь другие координаты, но тем не менее, это будут те же векторы. Значит, и величина | r_u´ r_v| не зависит от выбора декартовой СК в пространстве.

В дальнейшем векторы, лежащие в касательной плоскости к поверхности будем обозначать греческими буквами.