Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.




Читайте также:
  1. Delphi. Компоненты Image, OpenPictureDialog, SavePictureDialog. Рисование и сохранение графической информации
  2. Delphi. Форма, компоненты Button и Memo
  3. I. Библиотеки и информационные центры России
  4. I. ДИСКОМФОРТ. Эти эмоции не обладают очень высокой интенсивностью, но они беспокоят нас и создают раздражающее ощущение, что все идет не совсем так, как надо. Информация
  5. I. Информационная карта
  6. I. Конструктивно-технологические особенности изготовления деталей информационных радиоэлектронных средств (ИРЭС) и обеспечение качества их изготовления
  7. I. ТЕМА ЗАНЯТИЯ: СТАТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ СТОП
  8. II этап — вторая неделя.
  9. II этап — вторая неделя.
  10. II этап — вторая неделя.

В этом и всех последующих параграфах все кривые и поверхности предполагаются гладкими класса C2 и регулярными.

Определение. Пусть Fэлементарная поверхность, а r : U –®F – её параметризация, M(xo, yo, zo) = r(uo, vo). Рассмотрим числа

L = ruu· = = = ,

M = ruv· = = = ,

N = rvv· = = = ,

где все производные вычисляются в точке (uo, vo). Пусть = x1ru+ x2rv– произвольный вектор из касательной плоскости к поверхности в точке M. Тогда выражение

II(, ) = L x12+ 2Mx1x2+ N x22 (13)

называется второй квадратичной формой поверхности в точке M.

В целом на поверхности L, M, N – это функции от u и v. Тогда выражение (13) называется второй квадратичной формой поверхности. Как и в случае с первой квадратичной формой, конкретный вид функций L, M, N зависит от выбора параметризации элементарной поверхности F. Зависят от этого и координаты вектора в базисе {ru, rv} (т.к. при изменении параметризации изменится и базис). Примем пока без доказательства, что значение II(, ) не изменится при допустимой замене параметра.

Пусть поверхность задана уравнением в явном виде z = f(x, y). Перепишем его в параметрическом виде:

x = u,

y = v,

z = f(u, v).

Тогда

ru(1, 0, fu),rv(0, 1, fv), ruu(0, 0, fuu), ruv(0, 0, fuv),rvv(0, 0, fvv);

E = ru· ru= 1 + (fu)2, F = ru· rv= fufv, G = rv· rv= 1 + (fv)2,

EG F 2 = 1 + (fu)2+ (fv)2;

L = = ,

учитывая, что u = x, а v = y. Аналогично находим, что

M = , N = . (14)

Упражнение. Вычислите коэффициенты второй квадратичной формы эллиптического параболоида z = x2 + y2.

Пусть g – кривая на элементарной поверхности F, заданной параметрическим уравнением = r(u, v). Зададим ее уравнением с естественным параметром: = c(s), c(s) = r(u(s), v(s)). Пусть PÎ g, n – единичный вектор главной нормали к g в точке P, а – единичный вектор нормали к поверхности. Пусть q = Ð(n, ), а k – кривизна кривой g в точке P. Обозначим ko= k | cos q| .

Мы знаем, что = kn . Умножим это равенство скалярно на :

· = kn · = k| n| | | cos q = k cos q .

С другой стороны, = ru+ rv, = fu+ rv+ ()2ruu+ 2 ruv+ ()2rvv,

· = ru· + rv· + ()2ruu· + 2 ruv· + ()2rvv· .

Учитывая, что ru^ , rv^ получаем

· = L()2 + 2M + N ()2 = II(, ) Þ ko= | II(, )| .



Если параметризация кривой не является естественной, то вектор с¢ не является единичным. Тогда = с¢/| с¢|, и поэтому

ko= |II| = | II(с¢, с¢)| = .

Возьмем теперь в качестве g кривую, которая получается в сечении поверхности плоскостью a, проходящей через P параллельно вектору . Тогда вектор главной нормали n к кривой g в точке P будет

лежать в этой плоскости и будет перпендикулярен касательной. Значит n || и | cos q| = 1 Þ kok. Поэтому величина ko называется кривизной нормального сечения поверхности в точке P в направлении кривой g или нормальной кривизной. Придадим этой величине знак, так чтобы была верна формула

ko= . (15)

Именно в этой формуле заключается Теорема Менье.

Мы видим, что величина ko не зависит от выбора конкретной параметризации кривой g, а зависит только от направления касательного вектора с¢ в точке P. Поэтому можем определить нормальную кривизну поверхности в направлении вектора , лежащего в касательной плоскости:

ko= .

 

 


Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 10; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты