Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.

В этом и всех последующих параграфах все кривые и поверхности предполагаются гладкими класса C² и регулярными.

Определение. Пусть F – элементарная поверхность, а r : U –®F – её параметризация, M(x_o, y_o, z_o) = r(u_o, v_o). Рассмотрим числа

L = r_uu· = = = ,

M = r_uv· = = = ,

N = r_vv· = = = ,

где все производные вычисляются в точке (u_o, v_o). Пусть = x₁r_u+ x₂r_v– произвольный вектор из касательной плоскости к поверхности в точке M. Тогда выражение

II(, ) = L x₁²+ 2Mx₁x₂+ N x₂² (13)

называется второй квадратичной формой поверхности в точке M.

В целом на поверхности L, M, N – это функции от u и v. Тогда выражение (13) называется второй квадратичной формой поверхности. Как и в случае с первой квадратичной формой, конкретный вид функций L, M, N зависит от выбора параметризации элементарной поверхности F. Зависят от этого и координаты вектора в базисе {r_u, r_v} (т.к. при изменении параметризации изменится и базис). Примем пока без доказательства, что значение II(, ) не изменится при допустимой замене параметра.

Пусть поверхность задана уравнением в явном виде z = f(x, y). Перепишем его в параметрическом виде:

x = u,

y = v,

z = f(u, v).

Тогда

r_u(1, 0, f_u),r_v(0, 1, f_v), r_uu(0, 0, f_uu), r_uv(0, 0, f_uv),r_vv(0, 0, f_vv);

E = r_u· r_u= 1 + (f_u)², F = r_u· r_v= f_uf_v, G = r_v· r_v= 1 + (f_v)²,

EG – F ² = 1 + (f_u)²+ (f_v)²;

L = = ,

учитывая, что u = x, а v = y. Аналогично находим, что

M = , N = . (14)

Упражнение. Вычислите коэффициенты второй квадратичной формы эллиптического параболоида z = x² + y².

Пусть g – кривая на элементарной поверхности F, заданной параметрическим уравнением = r(u, v). Зададим ее уравнением с естественным параметром: = c(s), c(s) = r(u(s), v(s)). Пусть PÎ g, n – единичный вектор главной нормали к g в точке P, а – единичный вектор нормали к поверхности. Пусть q = Ð(n, ), а k – кривизна кривой g в точке P. Обозначим k_o= k | cos q| .

Мы знаем, что = kn . Умножим это равенство скалярно на :

· = kn · = k| n| | | cos q = k cos q .

С другой стороны, = r_u+ r_v, = f_u+ r_v+ ()²r_uu+ 2 r_uv+ ()²r_vv,

· = r_u· + r_v· + ()²r_uu· + 2 r_uv· + ()²r_vv· .

Учитывая, что r_u^ , r_v^ получаем

· = L()² + 2M + N ()² = II(, ) Þ k_o= | II(, )| .

Если параметризация кривой не является естественной, то вектор с¢ не является единичным. Тогда = с¢/| с¢|, и поэтому

k_o= |II| = | II(с¢, с¢)| = .

Возьмем теперь в качестве g кривую, которая получается в сечении поверхности плоскостью a, проходящей через P параллельно вектору . Тогда вектор главной нормали n к кривой g в точке P будет

лежать в этой плоскости и будет перпендикулярен касательной. Значит n || и | cos q| = 1 Þ k_o=±k. Поэтому величина k_o называется кривизной нормального сечения поверхности в точке P в направлении кривой g или нормальной кривизной. Придадим этой величине знак, так чтобы была верна формула

k_o= . (15)

Именно в этой формуле заключается Теорема Менье.

Мы видим, что величина k_o не зависит от выбора конкретной параметризации кривой g, а зависит только от направления касательного вектора с¢ в точке P. Поэтому можем определить нормальную кривизну поверхности в направлении вектора , лежащего в касательной плоскости:

k_o= .