Эволюта и эвольвента кривой.

Определение. Пусть на плоскости задано семейство кри-вых {g_t}. Пусть кривая w в каждой своей точке касается одной из кривых семейства (т.е. имеет с ней общую касательную). Тогда w называется огибающей семейства кривых g_t.

Пусть семейство кривых {g_t} задано с помощью урав­нения в неявном виде

F(x, y, t) = 0, (17)

где t – параметр семейства, а кривая

w – параметрическим уравнением = c(t) так, чтобы в точке c(t) она касалась кривой g_t (т.е. в качестве параметра у кривой w выступает «номер» линии с которой она каса­ется в данной точке). При таком определении параметра точка c(t) = (x(t), y(t)) принадлежит кривой g_t , а значит, выполняется тождество

F(x(t), y(t), t) º 0. (*)

Продифференцируем это тождество по t:

x¢(t) + y¢(t) + = 0. (**)

В уравнении (17) для каждой отдельной кривой g_t параметр t высту­пает в качестве постоянной. Поэтому вектор grad F будет вектором нормали для кривой g_t . Но кривая w имеет вместе с g_t общую каса­тель­ную, поэтому grad F будет вектором нормали и для кривой w. Следовательно,

x¢(t) + y¢(t) = 0.

Поэтому (**) принимает вид: ¶F/¶t = 0. Объединяя (*) и (**) полу­чаем, что функции (x(t), y(t)) удовлетворяют системе уравнений

F(x, y, t) = 0,

F_t(x, y, t) = 0.

Множество точек, которые удовлетворяют этой системе называется дискри­минантной линий. Оно не всегда является кривой.

Примеры 1. Для семейства прямых y – tx = 0 система (18) имеет вид

y = tx

x = 0.

Дискриминантная линия состоит только из одной точки (0, 0).

2. Для семейства окружностей, изображённого на рисунке (центры окружностей находятся на единичной окружности с центором O, а радиусы равны 1) система (12) имеет вид

(x – cos t)² + (y – sin t)² = 1,

(x – cos t)·sin t – (y – sin t)·cos t = 0.

Она имеет два решения (проверьте подстановкой)

x = 2cos t, x = 0

y = 2sin t; y = 0.

Только первое решение задаёт кривую.

Примем без доказательства, что если в каждой точке дискрими­нант­ной линии ¶j/¶x и ¶j/¶y одновременно в ноль не обращаются, то дискриминантная линия является огибающей кривой.

Определение. Проведём в каждой точке плоской кривой g нормаль к этой кривой. Получим семейство прямых n_t. Огибающая семейства этих прямых называется эволютойкривой g.

Оказывается, геометрическое место всех центров кривизны кривой g совпадает с её эволютой (без доказательства). Именно это свойство позволяет легко составить уравнение эволюты. Для того, чтобы получить точку

на эволюте, следует от точки на кривой отложить отрезок равный R (радиусу кривизны) в направлении вектора нормали n. Отсюда получаем уравнение эволюты в векторном виде:

= c(t) + Rn Û = c(t) + n,

где = c(t) – уравнение кривой g. Для плоской кривой вектор (–y¢, x¢) перпендикулярен направляющему вектору касательной c¢= (x¢, y¢), а значит, он направлен по нормали. Тогда

n= (, ).

Согласно формуле (11¢)

R = .

Тогда уравнения эволюты кривой g:

x = x(t) – , y = y (t) + . (19)

Определение. Пусть кривая g задана уравнением с естественным параметром = c(s). Из каждой точки c(s) кривой отложим вектор –st. Геометрическое место концов этих векторов называется эвольвентой кривой g.

Представим, что на часть кривой, соответствующей значениям s>0, намотана нить, конец которой находится в точке c(0). Будем разматывать эту нить, сохраняя её в постоянном натяжении. Тогда размотанная часть нити будет находиться на касательной к кривой, и длина этой части будет равна s. Таким образом, конец нити будет находиться

на касательной на расстоянии s от точки касания в направлении противоположном к направлению возрастания параметра. Значит, конец нити будет находиться на эвольвенте к данной кривой. Поэтому эвольвенту ещё называют развёрткой кривой.

На данном рисунке изображена развёртка окружности. Она широко применяется в технике: форму развёртки окружности имеют зубья цилиндрических шестерён.

Если кривая задана уравнением с естественным параметром = c(s), то уравнение её развёртки кривой в векторном виде:

= c(s) –st Û = c(s) – s(s) .

Если кривая задана уравнением с произвольным параметром, то уравнение развёртки этой кривой:

= c(t) –s .

Если g¢ – эвольвента кривой g, то g является эволютой для g¢. Точно также, кривая g является эвольвентой для своей эволюты.

Пример. Для окружности, заданной уравнениями

x=acos t, y=asin t,

c¢(t) = (– asin t, acos t), | c¢(t)| = a, а естественный параметр s = at (убедитесь самостоятельно). Отсюда получаем уравнения развёртки:

x=a(cos t + tsin t),

y=a(sin t - tcos t).