Вид кривой в подвижном репере

Пусть g – кривая класса с³, PÎg – точка в которой k¹0, k¹0, и {P, t, n, b} – подвижной репер. Этот репер определяет декартову систему координат с началом Р. Обозначим координаты х, у, z.

Пусть = c(s) – уравнение кривой с естественным параметром и P=c(0). Разложим c(s) в ряд Тейлора в окрестности s=0:

c(s) = c(0) + s (0) + (s) + (s) + s³ (s),

где (s) – бесконечно малый вектор при s–®0. Поскольку c(0) – начало координат, то c(0) = . Мы также знаем, что = t, = kn. Тогда с помощью формул Френе находим

= n + k = n + k(– kt +kb) = n – k²t + kkb.

c(s) = s×t + n + (n – k²t + kkb) + s³ (s).

Значит, если отбросить бесконечно малые величины порядка более 3, то

c(s) = t + n + b,

Поэтому параметрические уравнения кривой в окрестности точки P в наших координатах будут иметь вид:

если для каждой координаты оставить только величину, имеющую наибольшее значение при малых s.

Соприкасающаяся плоскость параллельна t и n, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxy. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 1 (парабола).

Спрямляющая плоскость параллельна t и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P при k>0 изображен на рисунке 2 (кубическая парабола).

Нормальная плоскость парал-лельна n и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оyz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 3 (полукубическая парабола).